众所周知，Spin几何是黎曼几何的一重要研究分支，其主要研究对象为Spin流形和Dirac算子。Spin流形上的Dirac算子 是作用在Spin主丛的配丛---旋量丛上的一阶椭圆微分对称算子。. 紧致Spin流形上Dirac算子的谱蕴含了几何信息和流形的拓扑信息。 在紧致流形上第一个特征值优化下估计是著名的Friedrich不等式. λ^2≥[n/4(n-1)]inf R. .等式成立当且仅当对应的特征旋量为Killing 旋量。很显然，Killing旋量是为twistor旋量的特征旋量。Killing旋量的存在意味着流形必为局部不可约的Einstein 流形。另一方面，Lichnerowicz 和 Hijazi 注意到在存在非平凡的平行形式 的流形上不存在Killing旋量。进一步，若(M,g)具有局部乘积结构，则也不存在Killing旋量。因此在K\"ahler流形上以及局部乘积流形上Friedrich不等式不可能是最优化的下界估计。事实上，Kirchberg, Hijazi, Kramer, 和 Kim在这些情况下给出了相应更好的优化下界估计。. 受Hijazi的结果启发，我们研究了quasi-Killing旋量的性质和应用。其中一个应用是给出了Alexandrov, Grantcharov和 Ivanov估计的一个简单的证明。我们也获得了关于twistor旋量的可积条件和有趣的消灭定理。特别地，我们证明了若局部可分解闭Spin流形的Ricci曲率不恒为零，则twistor旋量空间是平凡的。. 进一步，利用 Bordoni的一般性的谱结果。在存在非平凡的平行一形式的流形上，我们获得了Dirac算子的任意特征值估计。 该估计依赖于 Laplace算子的特征值和数量曲率。该估计可以退化到Alexandrov, Grantcharov和 Ivanov的结果，因此从这个意义下，我们的估计是最优。 通过相同的思路，我们还可以在局部可分解的Riemannian Spin流形上获得类似的结果。