Carnot群上的凸分析与Monge-Ampere方程

本项目拟运用经典凸分析思想，结合几何测度论、非线性分析、微分几何和偏微分方程等理论，研究三步及三步以上Carnot群上水平凸函数的连续性与水平二阶导数的几乎处处存在性；研究Carnot群上水平拟凸函数及半凸函数的连续性与水平拟凸函数的Hessian矩阵性质；研究有关Carnot群上Monge-Ampere方程对应的极值原理、比较原理理论，特别是D.Danielli，N.Garofalo和D.M.Nhieu提出的关于Carnot群上完全非线性次椭圆情形下的Alexandrov-Bakelman-Pucci类型的几何极值原理的公开问题；探讨Carnot群上Monge-Ampere方程的广义解、粘性解及正则性理论。这些研究是Carnot群上的凸分析与Monge-Ampere方程研究中的重要问题。本项目的研究可望进一步发展Sub-Riemannian几何上的几何分析、非线性偏微分方程理论。