矩阵问题与双模问题是代数学家所关心的核心问题之一。我们将借助Belitskii约化算法及双模问题与有限维代数的表示范畴之间的表示等价，研究Domestic代数的不可分解表示的典范形及非齐次分支的结构，从而解决Ringel所提出的相关公开问题。表示论中的几何方法是近年来代数表示论中的一个崭新课题且具有长远发展潜力。我们将运用组合方法，同调方法及代数几何的方法，研究与上三角双模相联系的拟遗传代数的几何性质（如几何参数，一般表示，典范分解等）以及子表示问题。