在单调扭转映射的Aubry-Mather理论的基础上，Mather发展出了一套研究高维正定Lagrange系统的变分理论（即Mather理论）。此理论在研究高维正定Lagrange系统的拓扑不稳定性中显示出了巨大的威力。但是此理论尚未成熟，局限了其应用。我们将结合弱KAM理论，半凹函数理论，维数理论，微分分析方法，辛(symplectic)方法等工具，来发展Mather理论，研究其中一些核心问题（如障碍函数关于上同调类正则性，障碍函数的维数估计，通有情况下Mane集的拓扑结构等），并以此为基础，深入研究Hamilton动力系统的拓扑不稳定性。同时，我们还将把Mather的思想推广到非正定的系统中去，为研究非正定系统的不稳定性奠定基础。