高维可压流体中的若干数学理论研究

批准号：

12071391

项目类别：

面上项目

资助金额：

52.0 万元

负责人：

谭忠

依托单位：

厦门大学

学科分类：

混合型方程

结题年份：

2024

批准年份：

2020

项目状态：

已结题

项目参与者：

谭忠

关键词：

正则性局部能量方程高维可压流体唯一性与非唯一性存在性

项目摘要

结项摘要

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中文摘要

最近，高维不可压流体运动方程非唯一性有重大突破，Onsager猜想也得到完美解决，然而对应的可压流体运动方程相应问题则并不能平行得到，著名数学家Delellis提出了关于可压Euler方程的若干公开问题。本项目将探讨新的方法、原理，针对可压Euler方程的弱解存在性、唯一性与非唯一性、弱解的正则性、奇性形成等公开问题集中攻关，力争解决部分或部分解决这些公开问题。

英文摘要

Recently, the non-uniqueness of the multi-dimensional incompressible fluid motion equation has made a major breakthrough, and Onsager's conjecture has also been perfectly solved. However, the corresponding problem of the compressible fluid motion equation cannot be obtained in parallel. The famous mathematician Delellis has raised several open questions about the compressible Euler equation. This project will explore new methods and principles to focus on open problems of the existence, uniqueness and non-uniqueness, regularity, the formation of singularities of weak solutions of the compressible Euler equation, and strive to solve some or part of these open problems .

项目的背景：目前关于可压Euler方程及其他流体运动方程，还存在若干公开问题。.研究内容：（1）对各类流动运动建立数学模型，进行数学理论分析；（2）研究椭圆与抛物方程、分数阶方程的部分遗留数学问题。得到了如下的.重要结果：针对内容（1），得到了包括可压Euler方程、磁微极流体方程、粘弹性流体方程、微极Bénard系统、Boussinesq系统、Navier-Stokes系统和与Navier-Stokes系统耦合的系统、边界层方程、MHD方程在内的各类流体方程的适定性、长时间行为和稳定性、不稳定性问题。针对内容（2），首先针对电阻抗断层成像技术中的含DtN算子的Calderón’s 问题，得到了具有临界指数的 p-Dirichlet-to-Neumann 算子的非线性椭圆抛物问题的解的正则性并分析了全局解的长期渐近行为。其次对于若干类整数及分数阶的椭圆抛物问题，研究了分数阶Kirchhoff 伪抛物方程和波动方程解的适定性及定性性质以及临界指标正规化解的存在性和长时间动力行为。最后针对具有分数耗散的 Oldroyd-B 型模型，证明了解的全局存在性和正则性。.喷管和水平板域内的可压Euler 方程的研究为空气动力学的发展提供了理论价值，对航空航天领域中的超音速发动机的设计有重要作用。磁微极流体的数学研究结合了磁场和微观旋转效应，在国防领域具有广泛潜力。Walker畴壁的数学研究推动了磁存储技术和自旋电子学的发展。高密度磁存储设备和自旋电子器件在军事通信、数据存储和信息处理中具有重要应用。DtN算子可以用来重建被检测区域内部的电导分布。分数阶Laplacian算子可以用于描述等离子体反常扩散和许多复杂力学问题。边界层问题建立了航空发动机流固耦合动力学模型。Oldroyd-B 型模型用于描述某些粘弹性流动的运动，如流体和聚合物耦合系统。