二维蜂窝晶格中的非线性波动

The propagation of nonlinear waves in two-dimensional honeycomb lattices is studied analytically and numerically. Due to the underlying symmetries of two-dimensional honeycomb lattices, the lowest two bands of the dispersion relation have a conical structure at the Dirac points. Numerous interesting phenomena are related to the existence of Dirac cones and the corresponding dynamics are usually governed by the Dirac equation. However, nonlinearity changes these phenomena greatly and therefore the Dirac equation is not a proper model. Using multiple scale method and singular perturbation theory, we start from the standard nonlinear Schr?dinger equation and derive the governing equations for the Dirac wave packet with strong nonlinearity. The break-down of the Dirac dynamics will be explained by studying the reduced model. If the honeycomb lattice is slightly deformed, Dirac cones may vanish and a band gap and corresponding gap solitons can exist between the lowest two bands. Via rigorous singular perturbation theory, we study the types and properties of the two envelope equations which are valid before and after the cones disappear respectively. The occurence of the gap solitons and their properties will then be explained.

本项目通过严格的解析理论及高精度的数值模拟研究二维蜂窝晶格中非线性波的传播问题。由于二维蜂窝晶体所具有的特殊的对称性，其所对应的色散关系中最低的两个能带在狄拉克点附近呈现出锥形结构，很多新颖的物理现象与狄拉克锥的存在密切相关，它们所对应的动力学一般由狄拉克方程来描述，非线性的存在使得这些现象发生极大的改变，用狄拉克方程来描述这些现象也不再合适。我们从最初始的非线性薛定谔方程出发，用多尺度分析和奇异摄动理论，推导出强非线性波狄拉克波包传播的数学模型，并通过对简化数学模型的分析，解释强非线性导致的狄拉克动力学的坍塌。如果二维蜂窝晶体的元胞发生轻微变形，狄拉克锥有可能会消失，最低的两个能带会分离，一种新的带隙孤子就能够存在于最低两个能带之间。我们通过奇异摄动理论研究狄拉克锥消失前后，波包演化方程形式与性质的所发生的重大变化，解释带隙孤子产生的内在机制及其物理性质。

如何控制光在介质中的传播一直是光学领域的核心研究问题。近些年来，受石墨烯材料的影响，人们认识到具有蜂窝结构的光介质可能会有十分重要的应用价值，蜂窝晶格所具有的对称性使得光的传播呈现出十分特殊的行为。从理论上说，经过伴轴近似，光在晶体中的传播可以用薛定谔方程来描述，这与凝聚态物理具有相同的控制方程，因此具有蜂窝结构的光子晶格也被称之为光子石墨烯，石墨烯材料的很多性质与现象在蜂窝光子晶格中都有相应的体现，比如狄拉克费米子对应于光的锥形衍射。但是与石墨烯材料不同的是，蜂窝光子晶格可以传播高强度激光，这种情况下材料的非线性不可忽略，另外一个不同的地方在于光子晶格的蜂窝晶格相对比较容易构造，因此也比较容易对其进行形变，因此研究形变对光传播的影响也具有很重要的意义。.本项目正是基于蜂窝光子晶格所具有的特殊性而开展研究。蜂窝晶格所具有的特殊的对称性导致了带蜂窝晶格势的二维薛定谔方程的能带（色散关系）具有狄拉克锥——最低两个能带在两个奇异点接触，而在奇异点附近，色散关系是线性的。由于狄拉克锥的存在，相应的波包演化方程是狄拉克方程，我们称之为狄拉克动力学。 在光子晶体里面，光的衍射呈现出圆锥形衍射——入射的高斯波逐渐演化成一个向外扩展的环，在整个晶体里面就会看到一个圆锥。在强非线性下，衍射变成了三角衍射。我们的研究表明非线性导致波包在能谱空间的分布越来越大，高阶色散变得越来越明显，因此我们推导了带高阶色散的非线性狄拉克方程，很好地刻画了非线性锥形衍射。我们还系统分析了形变导致狄拉克锥消失带隙被打开过程中波包演化的变化，推导了带隙孤子从无到有的控制方程的改变，给出了带隙孤子存在的条件，我们还将这些结果应用到具有PT-对称的蜂窝晶格中去。.本项目一个重要的意义在于理论与实验相结合，我们与南开大学陈志刚教授组合作，成功地解释了蜂窝晶格中赝自旋现象，而且在实验上也得到了验证。另外， 本项目的研究方法与结果具有很强的普适性，不光对非线性光学，对于材料、冷原子物理等相关领域具有重要的借鉴作用。

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