树状量子图上Sturm-Liouville算子谱及其逆问题研究

量子图是指在图的边上装备对称微分算式，在图的顶点处赋予边界条件使其成为一个自伴微分算子的几何图，其中树状量子图是量子图中一个重要类型。树状量子图上Sturm-Liouville算子(简称 TSL)源于电路及光子晶体等领域。本项目研究树状量子图上Sturm-Liouville 算子的谱及其逆问题。这是微分算子谱论的一个重要内容。.本项目主要研究内容：给出TSL的谱特征及其特征值渐近式；刻画TSL特征函数结点性质并建立TSL特征函数结点的渐近式；给出TSL的Ambarzumyan型问题完全刻画；描述与TSL具有等谱的特征值问题；提供一种求解逆结点问题的有效算法，运用这种算法仅由特征函数的结点数据去重构图及图上的势函数。. 本项目围绕TSL的谱结构、Ambarzumyan型逆谱问题、等谱问题和逆结点问题的研究，得到了下列研究结果：.(1) 得到TSL的谱特征并建立其特征值渐近式；刻画TSL特征函数结点性质并建立TSL特征函数结点的渐近式。.(2) 给出了TSL的Ambarzumyan型问题完全刻画。结果表明：在图上边界顶点处赋予Neumann边界条件，如果它的谱与自由势问题的谱一致，那么该问题的势函数必为零。.(3) 刻画与TSL具有等谱的特征值问题，给出图及势函数的相应描述。.(4) 给出逆结点问题唯一性定理，并且提供一种求解逆结点问题的有效算法，运用这种算法由特征函数的结点数据去重构图及图上的势函数。从理论上提供了由特征函数的稠结点集的一些关于势函数及边界条件未知参数的唯一性结果；从应用上给出了如何由实验测得的结点数据重构这些未知参数的有效算法。. 这些问题的解决，对于探索量子图的几何结构及丰富TSL的谱理论具有一定意义。