Wave Equation for Operators with Discrete Spectrum and Irregular Propagation Speed
Wave Equation for Operators with Discrete Spectrum and Irregular Propagation Speed
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具有离散谱和不规则传播速度算子的波动方程
DOI：
10.1007/s00205-017-1152-x
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发表时间：
2017
影响因子：
2.5
通讯作者：
N. Tokmagambetov
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Michael Ruzhansky;N. Tokmagambetov
给定希尔伯特空间 $${\mathcal{H}}$$H，我们研究具有作用于 $${\mathcal{H}}$$H 的离散非负谱算子的波动方程的柯西问题的适定性。我们考虑与时间相关的传播速度是规则的、霍尔德的和分布的情况。我们还考虑严格为正（严格双曲情况）和非负（弱双曲情况）的情况。当传播速度呈分布时，我们引入柯西问题“极弱解”的概念。我们证明，具有分布系数的波动方程的柯西问题在适当的意义上具有唯一的“非常弱解”，当后者存在时，它与经典解或分布解一致。例子包括谐振子和非谐振子、$${\mathbb{R}^n}$$Rn 上的朗道哈密顿量、域上不同阶的一致椭圆算子、紧致李群和紧流形上的霍曼德平方和、有边界流形上的算子等等。
Given a Hilbert space $${\mathcal{H}}$$H, we investigate the well-posedness of the Cauchy problem for the wave equation for operators with a discrete non-negative spectrum acting on $${\mathcal{H}}$$H. We consider the cases when the time-dependent propagation speed is regular, Hölder, and distributional. We also consider cases when it is strictly positive (strictly hyperbolic case) and when it is non-negative (weakly hyperbolic case). When the propagation speed is a distribution, we introduce the notion of “very weak solutions” to the Cauchy problem. We show that the Cauchy problem for the wave equation with the distributional coefficient has a unique “very weak solution” in an appropriate sense, which coincides with classical or distributional solutions when the latter exist. Examples include the harmonic and anharmonic oscillators, the Landau Hamiltonian on $${\mathbb{R}^n}$$Rn, uniformly elliptic operators of different orders on domains, Hörmander’s sums of squares on compact Lie groups and compact manifolds, operators on manifolds with boundary, and many others.
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