LARGE CARDINALS AND LIGHTFACE DEFINABLE WELL-ORDERS, WITHOUT THE GCH
LARGE CARDINALS AND LIGHTFACE DEFINABLE WELL-ORDERS, WITHOUT THE GCH
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大基数和 LIGHTFACE 可定义的良序，无需 GCH
DOI：
10.1017/jsl.2013.41
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
FRIEDMAN S
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
FRIEDMAN S
本文讨论这样一个问题：对于每个不可达的基数κ，都有一个H(κ+)的良序可以用一个没有参数的公式来定义，这个假设是否与(大的)大基数的存在和GCH的失效是一致的。我们假设SCH在ℶ函数的每个奇异不动点都成立，并构造了一个类Forcing，它在每个不可达基数处添加这样的良序，并保持ZFC、所有余定式、连续统函数和所有超紧基数。即使在没有适当的一类不可访问的基数的情况下，这种强迫也会产生一个“V=HOD”的模型，因此可以用来强制这一公理，同时保留GCH的大基数和故障。作为另一个应用，我们证明了我们可以从一个包含ω-超强基数κ的模型开始，并利用这种强迫建立一个模型，其中κ仍然是ω-超强的，GCH在κ失效，并且存在一个H(κ+)的良序，它可以在H(κ+)上定义而不带参数。最后，我们可以在一个可测量的基数上应用强迫来回答一个关于GCH的可定义故障的问题。
This paper deals with the question whether the assumption that for every inaccessible cardinal κ there is a well-order of H(κ+) definable over the structure by a formula without parameters is consistent with the existence of (large) large cardinals and failures of the GCH. We work under the assumption that the SCH holds at every singular fixed point of the ℶ-function and construct a class forcing that adds such a well-order at every inaccessible cardinal and preserves ZFC, all cofinalities, the continuum function, and all supercompact cardinals. Even in the absence of a proper class of inaccessible cardinals, this forcing produces a model of “V = HOD” and can therefore be used to force this axiom while preserving large cardinals and failures of the GCH. As another application, we show that we can start with a model containing an ω-superstrong cardinal κ and use this forcing to build a model in which κ is still ω-superstrong, the GCH fails at κ and there is a well-order of H(κ+) that is definable over H(κ+) without parameters. Finally, we can apply the forcing to answer a question about the definable failure of the GCH at a measurable cardinal.
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