Optimization Over Trace Polynomials
Optimization Over Trace Polynomials
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迹多项式的优化
DOI：
10.1007/s00023-021-01095-4
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Volčič, Jurij
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Klep, Igor;Magron, Victor;Volčič, Jurij
受量子信息理论最新进展的启发，本文旨在优化迹多项式，即，非交换变量的多项式及其乘积的迹。提出了一种新的证明迹多项式在迹约束下正性的Positivstellenarchy，并给出了一类单调收敛于迹多项式在迹约束下的最优解的半定松弛族.该层次结构可以被视为用于优化非交换多项式的Pironio、Navascués和Acín方案（Pironio等人，New J.Phys.10（7）：073013，2008）的跟踪模拟。如果满足平坦性和极值条件，则应用Gelfand-Naimark-Segal（GNS）构造来提取迹优化问题的优化器。这些条件足以得到我们的族的有限收敛。所得到的结果适用于违反多项式贝尔不等式在量子信息理论。本文中使用的主要技术的灵感来自于真实的代数几何，算子理论和非交换代数。
Motivated by recent progress in quantum information theory, this article aims at optimizing trace polynomials, i.e., polynomials in noncommuting variables and traces of their products. A novel Positivstellensatz certifying positivity of trace polynomials subject to trace constraints is presented, and a hierarchy of semidefinite relaxations converging monotonically to the optimum of a trace polynomial subject to tracial constraints is provided. This hierarchy can be seen as a tracial analog of the Pironio, Navascués and Acín scheme (Pironio et al. in New J. Phys. 10(7):073013, 2008) for optimization of noncommutative polynomials. The Gelfand–Naimark–Segal (GNS) construction is applied to extract optimizers of the trace optimization problem if flatness and extremality conditions are satisfied. These conditions are sufficient to obtain finite convergence of our hierarchy. The results obtained are applied to violations of polynomial Bell inequalities in quantum information theory. The main techniques used in this paper are inspired by real algebraic geometry, operator theory, and noncommutative algebra.
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