Center manifolds without a phase space for quasilinear problems in elasticity, biology, and hydrodynamics
Center manifolds without a phase space for quasilinear problems in elasticity, biology, and hydrodynamics
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用于弹性、生物学和流体动力学中的拟线性问题的无相空间的中心流形
DOI：
10.1088/1361-6544/ac5096
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
1.7
通讯作者：
Wheeler, Miles H
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chen, Robin Ming;Walsh, Samuel;Wheeler, Miles H
在本文中，我们提出了一个中心流形约化定理的拟线性椭圆型方程的无限圆柱，是没有一个相空间的意义上，我们避免明确重新制定的PDE作为一个发展问题。在适当的假设下，得到的中心流形是有限维的，并捕获所有足够小的有界解。与经典方法相比，流形上的约化常微分方程与原物理问题更直接相关，计算也更简单。分析直接在Hölder空间中进行，这通常是椭圆方程所需要的。然后，我们使用这种机制来构建各种系统的小有界的解决方案。这些包括异宿和同宿解的反平面剪切问题的非线性弹性;确切的缓慢移动的入侵前在一个二维的费舍尔-KPP方程;和流体动力学孔与涡在一个通道。最后一个例子是特别有趣的，因为我们找到了关键层和独特的“半猫眼”流线模式的解决方案。
In this paper, we present a center manifold reduction theorem for quasilinear elliptic equations posed on infinite cylinders that is done without a phase space in the sense that we avoid explicitly reformulating the PDE as an evolution problem. Under suitable hypotheses, the resulting center manifold is finite dimensional and captures all sufficiently small bounded solutions. Compared with classical methods, the reduced ODE on the manifold is more directly related to the original physical problem and also easier to compute. The analysis is conducted directly in Hölder spaces, which is often desirable for elliptic equations. We then use this machinery to construct small bounded solutions to a variety of systems. These include heteroclinic and homoclinic solutions of the anti-plane shear problem from nonlinear elasticity; exact slow moving invasion fronts in a two-dimensional Fisher–KPP equation; and hydrodynamic bores with vorticity in a channel. The last example is particularly interesting in that we find solutions with critical layers and distinctive'half cat's eye'streamline patterns.
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