Multiplicative analogue of Markoff-Lagrange spectrum and Pisot numbers
Multiplicative analogue of Markoff-Lagrange spectrum and Pisot numbers
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马可夫-拉格朗日谱和皮索数的乘法模拟
DOI：
10.1016/j.aim.2020.107547
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发表时间：
2021
影响因子：
1.7
通讯作者：
Hajime Kaneko
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Shigeki Akiyama;Hajime Kaneko
Markoff-Lagrange谱揭示了丢番图逼近的奇异拓扑性质。本文研究了模1几何级数的渐近性质，并在集合L（α）={lim sup n→∞ α n上得到了类似的结果|ξ∈ R}，其中| x |是x到最近整数的距离。首先，我们证明了对任意Pisot数α，L（α）在[0，1/2]中是闭的.然后我们考虑α是整数且α≥ 2或二次单位且α≥ 3的情况。证明了当α是二次函数时，L（α）包含一个适当的区间，而当α是整数时，L（α）不包含适当的区间.我们还确定了最小极限点和所有孤立点在此点之下。在证明的过程中，我们重温了Markoff研究的一个性质，它刻画了双无限平衡词和sturmian词。
Markoff-Lagrange spectrum uncovers exotic topological properties of Diophantine approximation. We investigate asymptotic properties of geometric progressions modulo one and observe significantly analogous results on the set L (α)={lim sup n→∞‖ ξ α n‖| ξ∈ R}, where‖ x‖ is the distance from x to the nearest integer. First, we show that L (α) is closed in [0, 1/2] for any Pisot number α. Then we consider the case where α is an integer with α≥ 2, or a quadratic unit with α≥ 3. We show that L (α) contains a proper interval when α is quadratic but it does not when α is an integer. We also determine the minimum limit point and all isolated points beneath this point. In the course of the proof, we revisit a property studied by Markoff which characterizes bi-infinite balanced words and sturmian words.
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