Quantitative Absolute Continuity of Harmonic Measure and the Dirichlet Problem: A Survey of Recent Progress
Quantitative Absolute Continuity of Harmonic Measure and the Dirichlet Problem: A Survey of Recent Progress
复制标题
谐波测度的定量绝对连续性和狄利克雷问题：最新进展综述
DOI：
10.1007/s10114-019-8444-z
复制
发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Hofmann, Steve
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hofmann, Steve
一个众所周知的民俗结果是，在具有Ahlfors-David正则边界的开集Ω∧∈n+1的边界上，调和测度相对于曲面测度的定量的、尺度不变的绝对连续性（更准确地说是弱- a∞性质）等价于数据在lp（∂Ω）中的Dirichlet问题在somep<∞上的可解性。与著名的维纳准则类似，它描述了具有连续边界数据的经典狄利克雷问题可以求解的域，人们可以寻求表征可解性成立的开集，从而允许奇异边界数据。一段时间以来，人们已经知道谐波测度的绝对连续性与∂Ω的可整流性密切相关，但单靠可整流性并不足以保证绝对连续性。在这篇文章中，我们概述了这一领域的最新进展，最后给出了弱- a∞性质的几何表征，从而给出了有限范围内pdirichlet问题的可解性。这一特征是在相当理想的背景假设下得出的，是本文作者与马泰尔的联合研究以及Azzam、Mourgoglou和Tolsa的研究成果的结合。
It is a well-known folklore result that quantitative, scale invariant absolute continuity (more precisely, the weak-A∞property) of harmonic measure with respect to surface measure, on the bound¬ary of an open set Ω ⊂ ℝn+1with Ahlfors-David regular boundary, is equivalent to the solvability of the Dirichlet problem in Ω, with data inLp(∂Ω) for somep< ∞. Drawing an analogy to the famous Wiener criterion, which characterizes the domains in which the classical Dirichlet problem, with contin¬uous boundary data, can be solved, one may seek to characterize the open sets for whichLpsolvability holds, thus allowing for singular boundary data.It has been known for some time that absolute continuity of harmonic measure is closely tied to rectifiability properties of∂Ω, but also that rectifiability alone is not sufficient to guarantee absolute continuity. In this note, we survey recent progress in this area, culminating in a geometric charac¬terization of the weak-A∞property, and hence of solvability of theLpDirichlet problem for some finitep.This characterization, obtained under rather optimal background hypotheses, follows from a combination of the present author’s joint work with Martell, and the work of Azzam, Mourgoglou and Tolsa.
登录
查看更多内容
均匀可整流性和谐波测度 IV：$L^p$ 中的 Ahlfors 正则性加上泊松核意味着均匀可整流性
DOI：
--
发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
作者：
S. Hofmann;J. M. Martell
通讯作者：
J. M. Martell
均匀可校正性、椭圆测度、平方函数和 $varepsilon$ 逼近性
DOI：
--
发表时间：
2016
期刊：
影响因子：
--
作者：
Jonas Azzam;J. Garnett;Mihalis Mourgoglou;X. Tolsa
通讯作者：
X. Tolsa
带有界Riesz变换算子的AD正则测度的一致可校正性：余维1的情况
DOI：
--
发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
--
作者：
F. Nazarov;A. Volberg;X. Tolsa
通讯作者：
X. Tolsa
具有局部有限表面测量的局部平坦域上谐波测量的奇异集
DOI：
10.1093/imrn/rnw121
发表时间：
2015
期刊：
arXiv: Classical Analysis and ODEs
影响因子：
--
作者：
Jonas Azzam;Mihalis Mourgoglou;X. Tolsa
通讯作者：
X. Tolsa
DOI：
10.1080/02781070410001731738
发表时间：
2004
期刊：
Complex Variables, Theory and Application: An International Journal
影响因子：
--
作者：
Björn Bennewitz;John L. Lewis †
通讯作者：
John L. Lewis †