A new formulation using the Schur complement for the numerical existence proof of solutions to elliptic problems: without direct estimation for an inverse of the linearized operator
A new formulation using the Schur complement for the numerical existence proof of solutions to elliptic problems: without direct estimation for an inverse of the linearized operator
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使用 Schur 补集来证明椭圆问题解的数值存在性的新公式：无需直接估计线性算子的逆
DOI：
10.1007/s00211-020-01155-7
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发表时间：
2020
影响因子：
2.1
通讯作者：
Oishi Shin’ichi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sekine Kouta;Nakao Mitsuhiro T.;Oishi Shin’ichi
无限维牛顿方法可以有效地用于推导偏微分方程解存在性的数值证明。在偏微分方程的计算机辅助证明中，将原问题转化为无限维牛顿不动点方程，其中是一个线性化算子，是一个残差，是一个非线性项。因此，估算在验证过程中起着重要的作用。在本文中，我们使用类似的概念来阻止高斯消去及其对应的矩阵问题的“Schur补”，我们将逆算子表示为一个无限维算子矩阵，该矩阵可以分解为有限维和无限维两部分。该算子矩阵给出了无限维牛顿法的一种新的有效实现，与现有的Nakao方法相比，它可以更有效地验证椭圆偏微分方程的解。给出了一些数值算例，验证了所提方法的有效性。从算子矩阵的表示得到的相关结果在“附录”中给出。
Infinite-dimensional Newton methods can be effectively used to derive numerical proofs of the existence of solutions to partial differential equations (PDEs). In computer-assisted proofs of PDEs, the original problem is transformed into the infinite-dimensional Newton-type fixed point equation, whereis a linearized operator,is a residual, andis a nonlinear term. Therefore, the estimations ofandplay major roles in the verification procedures . In this paper, using a similar concept to block Gaussian elimination and its corresponding ‘Schur complement’ for matrix problems, we represent the inverse operatoras an infinite-dimensional operator matrix that can be decomposed into two parts: finite-dimensional and infinite-dimensional. This operator matrix yields a new effective realization of the infinite-dimensional Newton method, which enables a more efficient verification procedure compared with existing Nakao’s methods for the solution of elliptic PDEs. We present some numerical examples that confirm the usefulness of the proposed method. Related results obtained from the representation of the operator matrix asare presented in the “Appendix”.
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