Pedersen–Takesaki operator equation and operator equation AX = B in Hilbert C⁎-modules
Pedersen–Takesaki operator equation and operator equation AX = B in Hilbert C⁎-modules
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Pedersen-Takesaki 算子方程和希尔伯特 C-模中的算子方程 AX-=-B
DOI：
10.1016/j.jmaa.2022.126878
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发表时间：
2022-11
影响因子：
1.3
通讯作者：
Qingxiang Xu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Rasoul Esk;ari;Xiaochun Fang;Mohammad Sal Moslehian;Qingxiang Xu
设 E 为 Hilbert C⁎ 模，L (E) 为 E 上可共轭算子的 C⁎ 代数。我们通过给出所谓 Pedersen-Takesaki 算子方程 X H X= K 的正解 X 存在的一些等价条件，将 Pedersen 和 Takesaki 的工作扩展到 Hilbert C⁎ 模的设置，其中 H，K ∈ L (E)。众所周知，道格拉斯引理在其一般形式的希尔伯特 C⁎ 模的设置中不成立。如果 A, B∈ L (E)，则算子不等式 B B⁎≤ λ A A⁎ 且 λ> 0 通常不能确保算子方程 A X= B 有解。我们证明，在算子范围的正交补条件下，A X= B 有解当且仅当 B B⁎≤ λ A A⁎ 且 R (A) ψ R (B B⁎) 时。此外，我们证明，如果 L (E) 是 W⁎ 代数，A、B ∈ L (E) 且 R (A⁎)‾= E，则对于某些 λ> 0，当且仅当 R (B)⊆ R (A) 时，B B⁎≤ λ A A⁎。给出了几个例子来支持这些发现。
Let E be a Hilbert C⁎-module and L (E) be the C⁎-algebra of adjointable operators on E. We extend a work of Pedersen and Takesaki to the setting of Hilbert C⁎-modules by giving some equivalent conditions for the existence of a positive solution X of the so-called Pedersen–Takesaki operator equation X H X= K in which H, K∈ L (E). It is known that the Douglas lemma does not hold in the setting of Hilbert C⁎-modules in its general form. If A, B∈ L (E), then the operator inequality B B⁎≤ λ A A⁎ with λ> 0 does not ensure that the operator equation A X= B has a solution, in general. We show that under an orthogonally complemented condition on the range of operators, A X= B has a solution if and only if B B⁎≤ λ A A⁎ and R (A)⊇ R (B B⁎). Furthermore, we prove that if L (E) is a W⁎-algebra, A, B∈ L (E), and R (A⁎)‾= E, then B B⁎≤ λ A A⁎ for some λ> 0 if and only if R (B)⊆ R (A). Several examples are given to support the findings.
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