A Semicircle Law for Derivatives of Random Polynomials
A Semicircle Law for Derivatives of Random Polynomials
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随机多项式导数的半圆定律
DOI：
10.1093/imrn/rnaa376
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发表时间：
2020
影响因子：
1
通讯作者：
S. Steinerberger
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Hoskins;S. Steinerberger
设$x_1, \dots , x_n$为$n$独立且同分布的实值随机变量，其均值为零，单位方差，其余所有阶的矩均为有限。我们研究根在$x_1, \dots , x_n$的随机多项式$p_n$。我们证明，对于$\ell \in \mathbb{N}$固定为$n \rightarrow \infty $, $p_n^{}$的$(n-\ell )-$次导数表现得像一个埃尔米特多项式：对于$x$在紧的区间内，$p_n^{(n-\ell )}$的适当的重新缩放开始表现得像$\ell -$次概率家的埃尔米特多项式服从随机移位。因此，对一个随机多项式多次求导存在一个普适性现象：剩余的根服从维格纳半圆分布。
Let $x_1, \dots , x_n$ be $n$ independent and identically distributed real-valued random variables with mean zero, unit variance, and finite moments of all remaining orders. We study the random polynomial $p_n$ having roots at $x_1, \dots , x_n$. We prove that for $\ell \in \mathbb{N}$ fixed as $n \rightarrow \infty $, the $(n-\ell )-$th derivative of $p_n^{}$ behaves like a Hermite polynomial: for $x$ in a compact interval, a suitable rescaling of $p_n^{(n-\ell )}$ starts behaving like the $\ell -$th probabilists’ Hermite polynomial subject to a random shift. Thus, there is a universality phenomenon when differentiating a random polynomial many times: the remaining roots follow a Wigner semicircle distribution.
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Chatterjee, Sourav