A nonlocal transport equation describing roots of polynomials under differentiation
A nonlocal transport equation describing roots of polynomials under differentiation
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描述微分下多项式根的非局部传输方程
DOI：
10.1090/proc/14699
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发表时间：
2019
影响因子：
1
通讯作者：
Steinerberger, Stefan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Steinerberger, Stefan
设 是一个次数多项式，其所有根都在实线上，并根据平滑函数分布。人们可能想知道在函数的迭代微分下根的分布如何表现，即根的密度如何演化。我们推导出一个非线性输运方程，其非局部通量\begin {equation*} u_t+\frac {1}{\pi}\left (\arctan {\left (\frac {Hu}{u}\right)}\right) _x= 0\qquad\text {on}~\operatorname {supp}\left\{u> 0\right\},\end {equation*} 其中是希尔伯特变换。该方程具有三个截然不同的紧支持解：(1) 反正弦分布，(2) 半圆分布族\begin {equation*} u (t, x)=\frac {2}{\pi}\sqrt {(Tt)-x^ 2},\end {equation*} 和 (3) Marchenko–Pastur 定律中包含的一系列解。参考
Letbe a polynomial of degreehaving all its roots on the real line distributed according to a smooth function. One could wonder how the distribution of roots behaves under iterated differentation of the function, ie, how the density of roots ofevolves. We derive a nonlinear transport equation with nonlocal flux\begin {equation*} u_t+\frac {1}{\pi}\left (\arctan {\left (\frac {Hu}{u}\right)}\right) _x= 0\qquad\text {on}~\operatorname {supp}\left\{u> 0\right\},\end {equation*} whereis the Hilbert transform. This equation has three very different compactly supported solutions:(1) the arcsine distribution,(2) the family of semicircle distributions\begin {equation*} u (t, x)=\frac {2}{\pi}\sqrt {(Tt)-x^ 2},\end {equation*} and (3) a family of solutions contained in the Marchenko–Pastur law. References
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