On the Hausdorff dimension of the residual set of a packing by smooth curves
On the Hausdorff dimension of the residual set of a packing by smooth curves
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光滑曲线堆积残差集的Hausdorff维数
DOI：
10.1112/jlms.12546
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Ntalampekos, Dimitrios
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Maio, Steven;Ntalampekos, Dimitrios
设平面剩余集是从平面上的开集中去掉可数个不相交拓扑圆盘而得到的集合。我们证明了满足一定的下曲率界的平面填充曲线的剩余集具有Hausdorff维数有界远离1，定量地，只依赖于曲率界。作为推论，任何圆填充的剩余集具有一致有界远离1的Hausdorff维数。这个结果推广了Larman的结果，他对正方形内的圆填充得到了同样的结论。我们还表明，我们的定理是最佳的，并不持有一般没有下曲率界。特别是，我们构建包装严格凸，光滑曲线的剩余集有1维。另一方面，我们证明了任何严格凸曲线的填充都不可能有σ\sigma$-有限Hausdorff 1-测度.
Let a planar residual set be a set obtained by removing countably many disjoint topological disks from an open set in the plane. We prove that the residual set of a planar packing by curves that satisfy a certain lower curvature bound has Hausdorff dimension bounded away from 1, quantitatively, depending only on the curvature bound. As a corollary, the residual set of any circle packing has Hausdorff dimension uniformly bounded away from 1. This result generalizes the result of Larman, who obtained the same conclusion for circle packings inside a square. We also show that our theorem is optimal and does not hold in general without lower curvature bounds. In particular, we construct packings by strictly convex, smooth curves whose residual sets have dimension 1. On the other hand, we prove that any packing by strictly convex curves cannot have σ$\sigma$‐finite Hausdorff 1‐measure.
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