Counting solutions to generalized Markoff-Hurwitz-type equations in finite fields
Counting solutions to generalized Markoff-Hurwitz-type equations in finite fields
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计算有限域中广义 Markoff-Hurwitz 型方程的解
DOI：
10.1016/j.ffa.2019.101609
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发表时间：
2020-02
影响因子：
1
通讯作者：
Wei Cao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kun Jiang;Wei Gao;Wei Cao
设F q是q阶的有限域。设N q表示广义markoff - hurwitz型方程x 1 m1 + x 2 m1 +⋯⋯x N N m N = b x 1 t 1 x 2 t 2⋯x N t N，其中m i∈Z >0 00, b∈F q _ _。Carlitz提出了为nq的特殊形式寻找显式公式的问题。设m= m 1⋯m n。Cao证明，如果gcd(∑i= 1 n t i m/m i - m, q - 1)= 1，则n q= q n−1+(- 1)n−1。本文给出了当gcd(∑i= 1 N t i m/m i−m, q−1)> 1时N q的显式表达式。特别地，对于m i= ti = 2 （i= 1，…，n）的情况，如果gcd (n−1,q−1)= 1或2n≡4 (mod q−1)，则可以很容易地推导出nq的公式。这概括了Cao的结果，也部分解决了Carlitz的问题。
Let F q be the finite field of order q. Let N q denote the number of solutions to the generalized Markoff-Hurwitz-type equation x 1 m 1+ x 2 m 2+⋯+ x n m n= b x 1 t 1 x 2 t 2⋯ x n t n with m i, t i∈ Z> 0 and b∈ F q⁎. Carlitz proposed the problem of finding an explicit formula for N q for the special form. Let m= m 1⋯ m n. Cao proved that N q= q n− 1+(− 1) n− 1 if gcd(∑ i= 1 n t i m/m i− m, q− 1)= 1. In this paper, we obtain an explicit formula for N q under certain case when gcd(∑ i= 1 n t i m/m i− m, q− 1)> 1. In particular, for the case of m i= t i= 2 (i= 1,…, n), if either gcd(n− 1, q− 1)= 1 or 2 n≡ 4 (mod q− 1), the formula for N q can be easily deduced. This generalizes Cao's result as well as partially solves Carlitz's problem.
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DOI：
10.1007/bf01478558
发表时间：
1954-03
期刊：
Monatshefte für Mathematik
影响因子：
--
作者：
L. Carlitz
通讯作者：
L. Carlitz
DOI：
10.1142/s021949881650136x
发表时间：
2015-05
期刊：
arXiv: Number Theory
影响因子：
--
作者：
Ioulia N. Baoulina
通讯作者：
Ioulia N. Baoulina
影响因子：
0.7
作者：
Ioulia N. Baoulina
通讯作者：
Ioulia N. Baoulina
影响因子：
1.4
作者：
Jeng-Daw Yu
通讯作者：
Jeng-Daw Yu
DOI：
10.1007/978-3-0348-4160-3_27
发表时间：
1963
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
A. Hurwitz
通讯作者：
A. Hurwitz