Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: A hundred decimal digits for the dimension of E2
Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: A hundred decimal digits for the dimension of E2
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连分式康托集豪斯多夫维数的严格有效界：E2 维数的一百位小数
DOI：
10.1016/j.aim.2017.11.028
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发表时间：
2018
影响因子：
1.7
通讯作者：
Jenkinson O
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jenkinson O
我们证明了[19]的算法用于近似动态定义的Cantor集的Hausdorff维数，使用基础动力系统的周期点，可以用于建立完全严格的高精度的维数界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连续分数扩展与限制数字。例如，集合E 2的Hausdorff维数（这些实数的连分式展开式只包含数字1和2）可以被严格近似，精度超过100个小数位，使用周期最多为25的点。建立严格维数界的方法涉及到与所允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert哈代空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的传输运营商，这将导致有效的估计相关的行列式的泰勒系数，因此明确的界限上的Hausdorff尺寸。
We prove that the algorithm of [19] for approximating the Hausdorff dimension of dynamically defined Cantor sets, using periodic points of the underlying dynamical system, can be used to establish completely rigorous high accuracy bounds on the dimension. The effectiveness of these rigorous estimates is illustrated for Cantor sets consisting of continued fraction expansions with restricted digits. For example the Hausdorff dimension of the set E 2 (of those reals whose continued fraction expansion only contains digits 1 and 2) can be rigorously approximated, with an accuracy of over 100 decimal places, using points of period up to 25. The method for establishing rigorous dimension bounds involves the holomorphic extension of mappings associated to the allowed continued fraction digits, an appropriate disc which is contracted by these mappings, and an associated transfer operator acting on the Hilbert Hardy space of analytic functions on this disc. We introduce methods for rigorously bounding the approximation numbers for the transfer operators, showing that this leads to effective estimates on the Taylor coefficients of the associated determinant, and hence to explicit bounds on the Hausdorff dimension.
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DOI：
10.2307/2532125
发表时间：
1990-03
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影响因子：
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作者：
K. Falconer
通讯作者：
K. Falconer
有界数字的连续符—II
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发表时间：
1977
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通讯作者：
T. Cusick
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0.8
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O. Bandtlow
通讯作者：
O. Bandtlow
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发表时间：
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O. Bandtlow;O. Jenkinson
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