The Asymptotically Sharp Geometric Rigidity Interpolation Estimate in Thin Bi-Lipschitz Domains
The Asymptotically Sharp Geometric Rigidity Interpolation Estimate in Thin Bi-Lipschitz Domains
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薄 Bi-Lipschitz 域中渐近锐几何刚度插值估计
DOI：
10.1007/s10659-020-09783-8
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发表时间：
2020
影响因子：
2
通讯作者：
Harutyunyan, D.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Harutyunyan, D.
这项工作是一个渐进尖锐的薄域的几何刚度估计的发展计划的一部分。三维欧氏空间中的薄区域大致上是足够正则的二维紧曲面的一个小邻域。本文证明了一个渐近尖锐的几何刚性插值不等式。与此相反，著名的Friesecke等人。刚性估计[Commun. Pure Appl.Math.55（11）：1461-1506，2002]对于板，我们的估计对于任何适当的旋转都成立。也就是说，该估计限制了任何场的梯度与任何恒定固有旋转的距离，即梯度与旋转群的平均距离（非线性应变），以及场本身与对应于旋转的刚性运动集的平均距离。关于这个估计有几个值得注意的事实：1。对于具有所需规律性的任何薄域，估计中的常数在域厚度缩放方面是尖锐的。2.在域具有正或负高斯曲率的特殊情况下，不等式将估计原型非线性应变的梯度项的问题简化为仅估计非线性应变的向量场而不损失常数标度的更容易的问题，正如Ansätze建议的那样。后者将是一个几何刚性Korn-Poincaré型估计。本文是在薄畴刚性问题上的重大进展。3.对于边界能量标度（弯曲到拉伸），估计意味着改进的强紧性的向量场免费。最后，这就是说，我们的新的插值不等式减少了问题证明“任何”几何一个好刚性问题在薄域估计向量场本身，而不是梯度，从而降低了问题的复杂性。
This work is part of a program of development of asymptotically sharp geometric rigidity estimates for thin domains. A thin domain in three dimensional Euclidean space is roughly a small neighborhood of regular enough two dimensional compact surface. We prove an asymptotically sharp geometric rigidity interpolation inequality for thin domains with little regularity. In contrast to that celebrated Friesecke et al. rigidity estimate [Commun. Pure Appl. Math. 55(11):1461–1506, 2002] for plates, our estimate holds for any proper rotations. Namely, the estimate bounds thedistance of the gradient of anyfield from any constant proper rotation, in terms of the averagedistance (nonlinear strain) of the gradientfrom the rotation group, and the averagedistance of the field itself from the set of rigid motions corresponding to the rotation. There are several remarkable facts about the estimate: 1. The constants in the estimate are sharp in terms of the domain thickness scaling for any thin domains with the required regularity. 2. In the special cases when the domain has positive or negative Gaussian curvature, the inequality reduces the problem of estimating the gradientin terms of the prototypical nonlinear strainto the easier problem of estimating only the vector fieldin terms of the nonlinear strain without any loss in the constant scalings as the Ansätze suggest. The later will be a geometric rigidity Korn-Poincaré type estimate. This passage is major progress in the thin domain rigidity problem. 3. For the borderline energy scaling (bending-to-stretching), the estimate implies improved strong compactness on the vector fields for free. Finally, this being said, our new interpolation inequality reduces the problem of proving “any” geometric one well rigidity problem in thin domains to estimating the vector field itself instead of the gradient, thus reducing the complexity of the problem.
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