On the Gardner-Zvavitch conjecture: Symmetry in inequalities of Brunn-Minkowski type
On the Gardner-Zvavitch conjecture: Symmetry in inequalities of Brunn-Minkowski type
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关于 Gardner-Zvavitch 猜想：Brunn-Minkowski 型不等式的对称性
DOI：
10.1016/j.aim.2021.107689
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发表时间：
2021
影响因子：
1.7
通讯作者：
G. Livshyts
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A.V. Kolesnikov;G. Livshyts
在本文中，我们研究了Gardner和Zvavitch在[22]中的猜想，该猜想表明标准高斯测度γ相对于对称凸集的Minkowski加法具有1 n-凹性。我们将这一事实证明到了 2 倍：也就是说，我们证明对于对称凸 K 和 L，以及 λε[0, 1]，γ (λ K+(1− λ) L) 1 2 n≥ λ γ (K) 1 2 n+(1− λ) γ (L) 1 2 n。更一般地，这种不等式适用于包含原点的凸集。此外，我们表明，在势的 Hessian 上合适的无量纲均匀界限下，相对于对称凸集的添加，偶数测度的对数凹性可以增强为 p-凹性，其中 p> 0。
In this paper, we study the conjecture of Gardner and Zvavitch from [22], which suggests that the standard Gaussian measure γ enjoys 1 n-concavity with respect to the Minkowski addition of symmetric convex sets. We prove this fact up to a factor of 2: that is, we show that for symmetric convex K and L, and λ∈[0, 1], γ (λ K+(1− λ) L) 1 2 n≥ λ γ (K) 1 2 n+(1− λ) γ (L) 1 2 n. More generally, this inequality holds for convex sets containing the origin. Further, we show that under suitable dimension-free uniform bounds on the Hessian of the potential, the log-concavity of even measures can be strengthened to p-concavity, with p> 0, with respect to the addition of symmetric convex sets.
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