Betti maps, Pell equations in polynomials and almost-Belyi maps
Betti maps, Pell equations in polynomials and almost-Belyi maps
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Betti 映射、多项式 Pell 方程和近 Belyi 映射
DOI：
10.1017/fms.2022.77
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Barroero F
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Barroero F
我们使用多项式佩尔方程研究超椭圆曲线雅可比行列式家族的特定（但相关）部分的贝蒂图，以及由该方程产生的某些分支覆盖，并且对其分支有严格的限制。特别是，我们通过研究拟合固定偶次多项式空间内佩尔方程的多项式 D 的轨迹，获得了 André、Corvaja 和 Zannier 关于 Betti 图淹没性结果的特例。此外，与上述相关的黎曼存在定理涵盖了某些排列表示：我们能够表征与佩尔方程的“原始”解或低次解的幂相对应的表示，并在 D 的阶数为 4 时给出这些表示的组合描述。反过来，这种表征返回了有关 Betti 图有理值的一些精确信息。
We study the Betti map of a particular (but relevant) section of the family of Jacobians of hyperelliptic curves using the polynomial Pell equation , with and certain ramified covers arising from such equation and having heavy constrains on their ramification. In particular, we obtain a special case of a result of André, Corvaja and Zannier on the submersivity of the Betti map by studying the locus of the polynomials D that fit in a Pell equation inside the space of polynomials of fixed even degree. Moreover, Riemann existence theorem associates to the abovementioned covers certain permutation representations: We are able to characterize the representations corresponding to ‘primitive’ solutions of the Pell equation or to powers of solutions of lower degree and give a combinatorial description of these representations when D has degree 4. In turn, this characterization gives back some precise information about the rational values of the Betti map.
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