Tridiagonal pairs and the $\mu$-conjecture
Tridiagonal pairs and the $\mu$-conjecture
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三对角对和 $mu$ 猜想
DOI：
10.1016/j.laa.2008.08.008
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Paul M. Terwilliger
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
K. Nomura;Paul M. Terwilliger
设F表示域，V表示F上的有限正维数向量空间。本文考虑一对线性变换A：V→V和A ∈：V→V，它们满足下列条件：（i）A，A ∈都是可对角化的，（ii）存在A的特征空间的序{Vi}i= 0 d，使得A ∈ Vi <$Vi-1+Vi+1，0 <$i <$d，其中V-1=0，Vd+1=0;（iii）存在A的特征空间的序{Vi <$}i=0δ，使得对于0 <$i <$δ，A Vi <$$>= Vi-1 <$+ Vi <$+1 <$，其中V-1 <$=0，Vδ+1 <$=0;（iv）不存在V的子空间W使得AW <$W，A <$W <$W，W <$0，W <$V.我们称这样的对为V上的三对角对。已知d=δ，并且对于0 i d，Vi，Vd-i，Vi，Vd-i的维数一致。当dimV 0 =1时，我们说对A，A是尖锐的。已知如果F是代数闭的，则A，A是锐的。最近T.伊藤和第二作者。我们提出了一个结果，支持的猜想。给定F中的标量{θi}i= 0 d，{θi <$}i= 0 in满足已知的三对角对特征值的约束条件，我们通过生成元和关系定义了F-代数T.考虑F-代数e0 <$Te0 <$，其中e0 <$∈T是幂等元.设F[x1，...，xd]表示F上含有d个可交换不定元的多项式代数。我们证明了一个满射F-代数同态μ：F[x1，.，xd]→e0 <$Te0 <$.我们猜想μ是一个同构。我们证明了这个μ-猜想蕴含着分类猜想，并且μ-猜想对d ≠ 5成立。
Let F denote a field and let V denote a vector space over F with finite positive dimension. We consider a pair of linear transformations A:V→V and A∗:V→V that satisfy the following conditions: (i) each of A,A∗is diagonalizable; (ii) there exists an ordering {Vi}i=0dof the eigenspaces of A such that A∗Vi⊆Vi-1+Vi+Vi+1for 0⩽i⩽d, where V-1=0 and Vd+1=0; (iii) there exists an ordering {Vi∗}i=0δof the eigenspaces of A∗such that AVi∗⊆Vi-1∗+Vi∗+Vi+1∗for 0⩽i⩽δ, where V-1∗=0 and Vδ+1∗=0; (iv) there is no subspace W of V such that AW⊆W,A∗W⊆W,W≠0, W≠V. We call such a pair a tridiagonal pair on V. It is known that d=δ and for 0⩽i⩽d the dimensions of Vi,Vd-i,Vi∗,Vd-i∗coincide. We say the pair A,A∗is sharp whenever dimV0=1. It is known that if F is algebraically closed then A,A∗is sharp. A conjectured classification of the sharp tridiagonal pairs was recently introduced by T. Ito and the second author. We present a result which supports the conjecture. Given scalars {θi}i=0d,{θi∗}i=0din F that satisfy the known constraints on the eigenvalues of a tridiagonal pair, we define an F-algebra T by generators and relations. We consider the F-algebra e0∗Te0∗for a certain idempotent e0∗∈T. Let F[x1,…,xd] denote the polynomial algebra over F involving d mutually commuting indeterminates. We display a surjective F-algebra homomorphism μ:F[x1,…,xd]→e0∗Te0∗. We conjecture thatμ is an isomorphism. We show that this μ-conjecture implies the classification conjecture, and that the μ-conjecture holds for d⩽5.
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