Numerical quadrature for singular integrals on fractals
Numerical quadrature for singular integrals on fractals
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分形奇异积分的数值求积
DOI：
10.1007/s11075-022-01378-9
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发表时间：
2022
影响因子：
2.1
通讯作者：
Gibbs A
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Gibbs A
我们提出并分析了数值求积规则，用于计算自相似分形集上的正则积分和奇异积分。积分域被假定为满足开集条件的压缩相似迭代函数系统的紧吸引子。积分是关于任何"不变"（也称为"平衡"或"自相似"）的措施支持，特别是包括豪斯多夫措施限制，其中是豪斯多夫维数。单积分和双积分被认为是。我们的重点是复合求积规则，其中积分overare分解成积分的和适当的分区ofinto自相似的子集。对于某些奇异的对数或代数类型的被积函数，我们展示了如何在这样一个分区的上下文中的测量的不变性可以被利用来表达奇异积分正是在定期积分。对于这些经常积分的评价，我们采用了复合重心规则，充分经常被积表现出二阶收敛相对于子集的最大直径。作为一个应用程序，我们展示了这种方法，结合奇异减法技术，可以用来准确地评估奇异的双重积分，出现在Hausdorff测度伽辽金边界元方法的声波散射分形屏幕。
We present and analyse numerical quadrature rules for evaluating regular and singular integrals on self-similar fractal sets. The integration domainis assumed to be the compact attractor of an iterated function system of contracting similarities satisfying the open set condition. Integration is with respect to any “invariant” (also known as “balanced” or “self-similar”) measure supported on, including in particular the Hausdorff measurerestricted to, wheredis the Hausdorff dimension of. Both single and double integrals are considered. Our focus is on composite quadrature rules in which integrals overare decomposed into sums of integrals over suitable partitions ofinto self-similar subsets. For certain singular integrands of logarithmic or algebraic type, we show how in the context of such a partitioning the invariance property of the measure can be exploited to express the singular integral exactly in terms of regular integrals. For the evaluation of these regular integrals, we adopt a composite barycentre rule, which for sufficiently regular integrands exhibits second-order convergence with respect to the maximum diameter of the subsets. As an application we show how this approach, combined with a singularity-subtraction technique, can be used to accurately evaluate the singular double integrals that arise in Hausdorff-measure Galerkin boundary element methods for acoustic wave scattering by fractal screens.
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