An enhancement of Zagier’s polylogarithm conjecture
An enhancement of Zagier’s polylogarithm conjecture
复制标题
扎吉尔多对数猜想的增强
DOI：
10.1090/tran/7629
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发表时间：
2019
影响因子：
1.3
通讯作者：
Sato Nobuo
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Nakashima Yusuke;Yamaguchi Masami K.;Kanazawa So;Sato Nobuo
设为自然数，设为虚二次数域的理想类。Zagier和Gangl构造了一个不变量，他们称之为“增强的zeta值”，因为的真实的部分，在乘以一个阶乘和幂的某个基本因子后，等于部分zeta值。他们还构造了-th Bloch群上的增强的多重对数，a值函数，并对提出了一个增强的猜想，将对的多重对数猜想自然地提升到了一个代数等式。在这篇文章中，我们定义了Shintani L-函数的两个变量，这是自然地被视为一个两个变量的模拟部分zeta函数的虚二次域。然后我们研究了它的解析性质，利用Shintani L-函数的一阶偏导数构造了射线类的值不变量（）。从结构上看，和是满足$\zeta '（1-m，\mathcal {A}）=\Lambda _ {1}（1-m，\mathcal {A}）+\Lambda _ {2}（1-m，\mathcal {A}）$的复共轭不变量。然后通过显式计算Shintani L-函数的偏导数的Fourier展开，证明了本文关于Zagier和Gangl的增强zeta值相等的主要定理。最后，我们提出了关于射线类不变量的增强猜想，扩展了Zagier-Gangl的猜想。最后给出了几个数值例子来验证我们的猜想的正确性。引用
Letbe a natural number and letbe an ideal class of an imaginary quadratic number field. Zagier and Gangl constructed-valued invariantswhich they named “the enhanced zeta value”, since the real part of, after being multiplied by a certain elementary factor in terms of a factorial and a power of, equals the partial zeta value. They also constructed the enhanced polylogarithm, a-valued function on the-th Bloch group, and formulated an enhanced conjecture forthat gives a natural lift of the polylogarithm conjecture forto a conjectural equality in. In this article, we define the Shintani L-function of two variables which is naturally regarded as a two-variable analog of the partial zeta function for imaginary quadratic fields. Then we study its analytic properties in order to construct-valued invariants() for a ray classusing the first partial derivative of the Shintani L-function at. From the construction,andare complex conjugate invariants that satisfy $\zeta’(1-m,\mathcal {A})=\Lambda _ {1}(1-m,\mathcal {A})+\Lambda _ {2}(1-m,\mathcal {A}) $. Then we prove the main theorem of this article about the equality between Zagier and Gangl’s enhanced zeta valueand, by explicit calculation of the Fourier expansion of the partial derivative of the Shintani L-function. Finally, we formulate the enhanced conjecture for the ray class invariants, by which we expand Zagier-Gangl’s original conjecture. We also give several numerical examples to verify the correctness of our enhanced conjecture. References
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