Continued fractions and orderings on the Markov numbers
Continued fractions and orderings on the Markov numbers
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马尔可夫数的连分数和排序
DOI：
10.1016/j.aim.2020.107231
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发表时间：
2020
影响因子：
1.7
通讯作者：
Schiffler, Ralf
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Rabideau, Michelle;Schiffler, Ralf
马尔可夫数是出现在丢番图方程的解的三元组中的整数，x2+y2+z2=3xyz，称为马尔可夫方程。这些数是数论中的一个经典话题，与许多数学领域有关，如组合学、双曲几何、逼近理论和簇代数。存在从0到1之间的有理数到马尔科夫数的自然映射。在这篇文章中，我们证明了马丁·艾格纳的书《马尔可夫定理》和百年唯一性猜想中的一个猜想，这个猜想是基于马尔可夫数的相应的有理来确定其子集上的序的。证明依赖于马氏数和连续多项式之间的关系，该关系起源于弗罗贝尼乌斯1913年的论文。
Markov numbers are integers that appear in the solution triples of the Diophantine equation, x 2+ y 2+ z 2= 3 x y z, called the Markov equation. A classical topic in number theory, these numbers are related to many areas of mathematics such as combinatorics, hyperbolic geometry, approximation theory and cluster algebras. There is a natural map from the rational numbers between zero and one to the Markov numbers. In this paper, we prove a conjecture seen in Martin Aigner's book, Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture, that determine an ordering on subsets of the Markov numbers based on their corresponding rational. The proof relies on a relationship between Markov numbers and continuant polynomials which originates in Frobenius' 1913 paper.
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--
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