Existence and nonexistence of extremals for critical Adams inequalities in R4 and Trudinger-Moser inequalities in R2
Existence and nonexistence of extremals for critical Adams inequalities in R4 and Trudinger-Moser inequalities in R2
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R4 中临界 Adams 不等式和 R2 中 Trudinger-Moser 不等式的极值存在和不存在
DOI：
10.1016/j.aim.2020.107143
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发表时间：
2018-12
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Maochun Zhu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lu Chen;Guozhen Lu;Maochun Zhu
虽然关于w1、n （rn）中的临界一阶Trudinger-Moser不等式和有限域Ω上的高阶Adams不等式的极值的存在性已经取得了很大的进展，但是对于整个空间rn上的临界高阶Adams不等式是否存在一个极值函数仍然是开放的。本文通过考虑整个空间r4中的临界二阶Adams不等式，代表了这一方向的第一次尝试。由于Pólya-Szegö型不等式的不存在，经典爆破法不能用于求解临界Adams型不等式的存在性问题。本文基于尖锐傅立叶重排原理（见[31]）、高阶Gagliardo-Nirenberg不等式的尖锐常数和最优多谐截断，提出了一些新的思想和方法，研究了R 4中S (α)= sup‖u‖H 2= 1∫R 4 (exp (32 π 2| u| 2) - 1 - α| u b| 2) d x的极大值的存在性和不存在性，其中α∈(−∞,32 π 2)。我们建立了阈值α α的存在性，当α α≥(32 π 2) 2b2和b2≥1 24 π 2时，当32 π 2−α< α α时S （α）成立，当32 π 2−α> α α时S （α）不成立。这种现象以前甚至在一阶Trudinger-Moser不等式中也没有被观察到。因此，我们也建立了r2上Trudinger-Moser不等式的一个极值函数的存在性和不存在性。此外，还可以通过傅里叶重排原理推导出极值函数的对称性。
Though much progress has been made with respect to the existence of extremals of the critical first order Trudinger-Moser inequalities in W 1, n (R n) and higher order Adams inequalities on finite domain Ω⊂ R n, whether there exists an extremal function for the critical higher order Adams inequalities on the entire space R n still remains open. The current paper represents the first attempt in this direction by considering the critical second order Adams inequality in the entire space R 4. The classical blow-up procedure cannot apply to solving the existence of critical Adams type inequality because of the absence of the Pólya-Szegö type inequality. In this paper, we develop some new ideas and approaches based on a sharp Fourier rearrangement principle (see [31]), sharp constants of the higher-order Gagliardo-Nirenberg inequalities and optimal poly-harmonic truncations to study the existence and nonexistence of the maximizers for the Adams inequalities in R 4 of the form S (α)= sup‖ u‖ H 2= 1∫ R 4 (exp(32 π 2| u| 2)− 1− α| u| 2) d x, where α∈(−∞, 32 π 2). We establish the existence of the threshold α⁎, where α⁎≥(32 π 2) 2 B 2 2 and B 2≥ 1 24 π 2, such that S (α) is attained if 32 π 2− α< α⁎, and is not attained if 32 π 2− α> α⁎. This phenomenon has not been observed before even in the case of first order Trudinger-Moser inequality. Therefore, we also establish the existence and non-existence of an extremal function for the Trudinger-Moser inequality on R 2. Furthermore, the symmetry of the extremal functions can also be deduced through the Fourier rearrangement principle.
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