Knot theory and cluster algebras
Knot theory and cluster algebras
复制标题
纽结理论和簇代数
DOI：
10.1016/j.aim.2022.108609
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发表时间：
2022
影响因子：
1.7
通讯作者：
Schiffler, Ralf
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Bazier-Matte, Véronique;Schiffler, Ralf
我们通过表示理论建立了纽结理论和簇代数之间的联系。对于每一个纽结图（或链接图），我们通过构造一个具有势的群来关联一个簇代数。簇代数的秩是2n，其中n是纽结图中交叉点的数量。然后我们构造了具有位势的代数的Jacobian代数上的2n个不可分解模T（i）。对于每个T（i），我们证明了子模格同构于相应的Kauffman态格。然后，我们给出了纽结的亚历山大多项式的实现，作为T（i）的F-多项式的特殊化，对于每个i。此外，我们猜想T（i）的集合在簇代数中形成一个簇，该簇代数的簇同构于初始簇的对立面，并且由此产生的簇自同构是二阶的。
We establish a connection between knot theory and cluster algebras via representation theory. To every knot diagram (or link diagram), we associate a cluster algebra by constructing a quiver with potential. The rank of the cluster algebra is 2n, where n is the number of crossing points in the knot diagram. We then construct 2n indecomposable modules T (i) over the Jacobian algebra of the quiver with potential. For each T (i), we show that the submodule lattice is isomorphic to the corresponding lattice of Kauffman states. We then give a realization of the Alexander polynomial of the knot as a specialization of the F-polynomial of T (i), for every i. Furthermore, we conjecture that the collection of the T (i) forms a cluster in the cluster algebra whose quiver is isomorphic to the opposite of the initial quiver, and that the resulting cluster automorphism is of order two.
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M. Freedman