On the complexity of the set of codings for self-similar sets and a variation on the construction of Champernowne
On the complexity of the set of codings for self-similar sets and a variation on the construction of Champernowne
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关于自相似集编码集的复杂性和Chambernowne构造的一种变体
DOI：
10.1016/j.aim.2019.106934
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发表时间：
2020
影响因子：
1.7
通讯作者：
Baker S
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Baker S
摘要：设F={p 0，…，p n}是R d中点的集合。集合F自然会得到由S i (x)= λ x+(1−λ) p i, i= 0，…，n的缩并组成的迭代函数系统族，其中λ∈(0,1),x∈R d。已知F和λ，已知存在一个唯一的非空紧集x满足x =∪i= 0 n S i (x)。对于每个x∈x，存在一个序列（a j） j= 1∞∈{0，…，n} n满足x= lim j→∞(S a 1°⋯S a j)(0)。本文证明了对于任意F， k∈N，存在δ k (F)>，使得λ∈(1−δ k (F), 1)，则x内部的每一点都有一个k-简正态编码。同样地，我们证明了λ∈(1−δ u ni (F), 1)，则X内部的每一点都有一个包含所有有限字的编码。对于某些特定的F，我们得到了δ k (F)和δ un i (F)的下界。当我们的迭代函数系统的相似性表现出不同的收缩速率时，我们还证明了一些较弱的陈述，这些陈述适用于更一般的设置。我们的证明依赖于Champernowne的正规数构造的一个变体，以及Erdős和Komornik引入的一种方法。
Abstract Let F={p 0,…, p n} be a collection of points in R d. The set F naturally gives rise to a family of iterated function systems consisting of contractions of the form S i (x)= λ x+(1− λ) p i, i= 0,…, n, where λ∈(0, 1) and x∈ R d. Given F and λ it is well known that there exists a unique non-empty compact set X satisfying X=∪ i= 0 n S i (X). For each x∈ X there exists a sequence (a j) j= 1∞∈{0,…, n} N satisfying x= lim j→∞(S a 1∘⋯∘ S a j)(0). We call such a sequence a coding of x. In this paper we prove that for any F and k∈ N, there exists δ k (F)> 0 such that if λ∈(1− δ k (F), 1), then every point in the interior of X has a coding which is k-simply normal. Similarly, we prove that there exists δ u n i (F)> 0 such that if λ∈(1− δ u n i (F), 1), then every point in the interior of X has a coding containing all finite words. For some specific choices of F we obtain lower bounds for δ k (F) and δ u n i (F). We also prove some weaker statements that hold in the more general setting when the similarities in our iterated function systems exhibit different rates of contraction. Our proofs rely on a variation of a well known construction of a normal number due to Champernowne, and an approach introduced by Erdős and Komornik.
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DOI：
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发表时间：
2013-07
期刊：
arXiv: Dynamical Systems
影响因子：
--
作者：
Tom Kempton
通讯作者：
Tom Kempton
随机 β 变换的局部维度
DOI：
10.1007/bf02954628
发表时间：
2013
期刊：
The New York Journal of Mathematics
影响因子：
--
作者：
K. Dajani;Charlene Kalle
通讯作者：
Charlene Kalle
影响因子：
0.9
作者：
P. Erdös;V. Komornik
通讯作者：
P. Erdös;V. Komornik
影响因子：
1.7
作者：
D. Broomhead;J. Montaldi;N. Sidorov
通讯作者：
D. Broomhead;J. Montaldi;N. Sidorov
DOI：
10.2307/2532125
发表时间：
1990-03
期刊：
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影响因子：
--
作者：
K. Falconer
通讯作者：
K. Falconer