Random simplicial complexes in the medial regime
Random simplicial complexes in the medial regime
复制标题
中间状态中的随机单纯复形
DOI：
10.1016/j.topol.2020.107065
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发表时间：
2020
影响因子：
0.6
通讯作者：
Farber M
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Farber M
我们描述了中间区域下模型和上模型中随机单纯复形的拓扑结构，即假设概率参数p σ既不接近0也不接近1。作为一种特殊情况，中间状态包括最简单和最自然的假设，即所有概率参数p σ彼此相等并且与n无关。我们发现，非平凡的贝蒂数的典型的下部和上部的随机单纯复形在中间制度在于在一个狭窄的尺寸范围。例如，一个在n个顶点上的上随机单纯复形Y在中间区域有很高的概率具有非零的贝蒂数B j（Y），只有当k+ c< n− j< k+ log 2 <$k+ c′时，其中k= log 2 <$ln <$n，c，c′是常数。一个在中间区域的n个顶点上的下随机单纯复形以很高的概率是（k+ a）-连通的，并且它的维数d满足d k+ log 2 k+ a′，其中a，a′是常数.证明采用了一种新的技术，基于亚历山大对偶，它涉及到较低和较高的模型。
We describe topology of random simplicial complexes in the lower and upper models in the medial regime, ie under the assumption that the probability parameters p σ approach neither 0 nor 1. The medial regime includes as a special case the simplest and most natural assumption that all probability parameters p σ are equal to each other and are independent of n. We show that nontrivial Betti numbers of typical lower and upper random simplicial complexes in the medial regime lie in a narrow range of dimensions. For instance, an upper random simplicial complex Y on n vertices in the medial regime with high probability has non-vanishing Betti numbers b j (Y) only for k+ c< n− j< k+ log 2 k+ c′ where k= log 2 ln n and c, c′ are constants. A lower random simplicial complex on n vertices in the medial regime is, with high probability,(k+ a)-connected and its dimension d satisfies d∼ k+ log 2 k+ a′ where a, a′ are constants. The proofs employ a new technique, based on Alexander duality, which relates the lower and upper models.
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