The Buffon's needle problem for random planar disk-like Cantor sets
The Buffon's needle problem for random planar disk-like Cantor sets
复制标题
随机平面盘状康托集的布丰针问题
DOI：
10.1016/j.jmaa.2023.127622
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发表时间：
2024
影响因子：
1.3
通讯作者：
Volberg, Alexander
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Vardakis, Dimitris;Volberg, Alexander
考虑了有限正1-Hausdorff测度的自相似Cantor集的随机性模型。我们发现布丰针落在δ-接近于这种特定随机性的康托集的概率的急剧衰减率。Peres和Solomyak以及Shiwen Zhang提出的两种完全不同的康托集随机性模型，似乎具有相同的布丰针概率衰减顺序：c log 1 δ。在本文中，我们证明了第三种随机模型的相同衰减率，它断言了一种模糊的感觉，即任何“合理的”正的有限长度的随机康托集将具有c log <$1 δ阶的Favard长度作为其δ-邻域。从下面的估计是由马蒂拉很久以前获得的。
We consider a model of randomness for self-similar Cantor sets of finite and positive 1-Hausdorff measure. We find the sharp rate of decay of the probability that a Buffon needle lands δ-close to a Cantor set of this particular randomness. Two quite different models of randomness for Cantor sets, by Peres and Solomyak, and by Shiwen Zhang, appear to have the same order of decay for the Buffon needle probability: c log 1 δ. In this note, we prove the same rate of decay for a third model of randomness, which asserts a vague feeling that any “reasonable” random Cantor set of positive and finite length will have Favard length of order c log 1 δ for its δ-neighbourhood. The estimate from below was obtained long ago by Mattila.
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