Domains in Metric Measure Spaces with Boundary of Positive Mean Curvature, and the Dirichlet Problem for Functions of Least Gradient
Domains in Metric Measure Spaces with Boundary of Positive Mean Curvature, and the Dirichlet Problem for Functions of Least Gradient
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具有正平均曲率边界的度量空间中的域以及最小梯度函数的狄利克雷问题
DOI：
10.1007/s12220-018-00108-9
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Speight, Gareth
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lahti, Panu;Malý, Lukáš;Shanmugalingam, Nageswari;Speight, Gareth
研究了完备度量测度空间中具有支持1-Poincaré不等式的加倍测度的域的几何。本文提出了具有正平均曲率边界的域的概念，并证明了对于这样的域，在连续边界条件下，Dirichlet最小梯度问题总有解。这里最小梯度被定义为最小化总变差（在BV函数的意义下），并且边界条件在解的边界迹存在并且与给定的边界数据一致的意义下被满足。这推广了斯滕贝格等人的结果。（J Reine Angew Math 430：35-60，1992）的非平滑设置。通过反例，我们还表明，解决方案的唯一性和连续解的存在性可能会失败，即使在加权欧氏设置与Lipschitz权重。
We study the geometry of domains in complete metric measure spaces equipped with a doubling measure supporting a 1-Poincaré inequality. We propose a notion of domain with boundary of positive mean curvature and prove that, for such domains, there is always a solution to the Dirichlet problem for least gradients with continuous boundary data. Here least gradient is defined as minimizing total variation (in the sense of BV functions), and boundary conditions are satisfied in the sense that the boundary trace of the solution exists and agrees with the given boundary data. This extends the result of Sternberg et al.(J Reine Angew Math 430: 35–60, 1992) to the non-smooth setting. Via counterexamples, we also show that uniqueness of solutions and existence of continuous solutions can fail, even in the weighted Euclidean setting with Lipschitz weights.
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