Intrinsic Diophantine approximation on manifolds: General theory
Intrinsic Diophantine approximation on manifolds: General theory
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流形上的本征丢番图近似：一般理论
DOI：
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发表时间：
2014
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
David Simmons
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Lior Fishman;D. Kleinbock;Keith Merrill;David Simmons
我们调查的问题，以及点上的非退化$k$维子流形$M \subseteq \mathbb R^d$可以近似的有理数也躺在$M$，建立一个上限的“内在狄利克雷指数”为$M$。我们表明，相对于这个指数，一组坏的本质上可逼近点是全尺寸和一组非常好的本质上可逼近点是零措施。我们的内在狄利克雷指数的界限是措辞在一个明确的功能$k$和$d$这似乎没有出现在以前的文献。它被证明是最佳的几个特定的情况下。有理数位于$M$的要求将这个问题与流形上的丢番图近似（环境）区分开来，并且需要开发新的技术。我们的主要工具是一个类似的单纯形引理躺在$M$的合理的非退化流形上的局部分布提供了新的见解。
We investigate the question of how well points on a nondegenerate $k$-dimensional submanifold $M \subseteq \mathbb R^d$ can be approximated by rationals also lying on $M$, establishing an upper bound on the "intrinsic Dirichlet exponent" for $M$. We show that relative to this exponent, the set of badly intrinsically approximable points is of full dimension and the set of very well intrinsically approximable points is of zero measure. Our bound on the intrinsic Dirichlet exponent is phrased in terms of an explicit function of $k$ and $d$ which does not seem to have appeared in the literature previously. It is shown to be optimal for several particular cases. The requirement that the rationals lie on $M$ distinguishes this question from the more common context of (ambient) Diophantine approximation on manifolds, and necessitates the development of new techniques. Our main tool is an analogue of the Simplex Lemma for rationals lying on $M$ which provides new insights on the local distribution of rational points on nondegenerate manifolds.
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