Online Adjoint Methods for Optimization of PDEs
Online Adjoint Methods for Optimization of PDEs
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偏微分方程优化的在线伴随方法
DOI：
10.1007/s00245-022-09852-5
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发表时间：
2022
影响因子：
1.8
通讯作者：
Spiliopoulos, Konstantinos
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sirignano, Justin;Spiliopoulos, Konstantinos
提出了一种用于偏微分方程优化的在线伴随算法，并对其进行了数学分析。传统的伴随算法通常会在每次优化迭代中求解一个新的伴随偏微分方程，计算量很大。而在线伴随算法则在连续时间内更新设计变量，从而不断向目标函数的最小化方向发展。我们考虑的在线伴随算法在精神上类似于之前提出的伪时间步进、单次方法。基于这种方法在工程问题中的应用，我们从数学上研究了在线伴随算法的收敛性。在线伴随算法依赖于一个时间松弛的伴随偏微分方程，它提供了最陡下降方向的估计。该算法不断更新该估计，并在t→∞时渐近收敛到最陡下降的精确方向。我们严格地证明了在线伴随算法收敛于目标函数的一个临界点来优化PDE。在适当的技术条件下，我们还证明了算法的收敛速度。收敛性证明的关键步骤是对耦合系统的正演偏微分方程、伴随偏微分方程和设计变量的梯度下降偏微分方程进行多尺度分析。
We present and mathematically analyze an online adjoint algorithm for the optimization of partial differential equations (PDEs). Traditional adjoint algorithms would typically solve a new adjoint PDE at each optimization iteration, which can be computationally costly. In contrast, an online adjoint algorithm updates the design variables in continuous-time and thus constantly makes progress towards minimizing the objective function. The online adjoint algorithm we consider is similar in spirit to the the pseudo-time-stepping, one-shot method which has been previously proposed. Motivated by the application of such methods to engineering problems, we mathematically study the convergence of the online adjoint algorithm. The online adjoint algorithm relies upon a time-relaxed adjoint PDE which provides an estimate of the direction of steepest descent. The algorithm updates this estimate continuously in time, and it asymptotically converges to the exact direction of steepest descent as t→∞. We rigorously prove that the online adjoint algorithm converges to a critical point of the objective function for optimizing the PDE. Under appropriate technical conditions, we also prove a convergence rate for the algorithm. A crucial step in the convergence proof is a multi-scale analysis of the coupled system for the forward PDE, adjoint PDE, and the gradient descent ODE for the design variables.
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