Optimization over Positive Polynomials and Moment Cones: an Algorithmic Study with Applications in Approximation Theory, Regression and Data Visualization

正多项式和矩锥的优化:近似理论、回归和数据可视化应用的算法研究

基本信息

  • 批准号:
    0306558
  • 负责人:
  • 金额:
    --
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2003
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2003-07-01 至 2007-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

In this project the problem of approximating unknown functions with some shape constraints is being investigated. As a central tool properties of a class of functions known as positive polynomials are being investigated and utilized. The problem of approximation of unknown functions with shape constraints has many potential applications some of which is being developed and formulated in the context of this project. A sample of problems being investigated includes: shape constrained regression in statistics with applications in economics and finance (for instance estimating demand curve which is necessarily a decreasing function, or utility curves which are convex and decreasing); estimation of probabilities or odds of events based on some knowledge of their moments or frequency samples; visualization of data in the form of space curves and surfaces with shape constraints such as direction of curvatures or convexity. The study is related to an important and relatively new area called semidefinite programming, a field of mathematical optimization theory. While the problem of finding best positive polynomials can be cast as a semidefinite programming problem, the process may not be the most efficient way. In this project tailor made techniques are being developed to deal directly with positive polynomials leading to more efficient methods than using semidefinite programming methods directly.In this project two mathematical objects are being investigated. One is called "positive polynomials" and the other "moment cones". These objects have applications in several areas including statistics, economics, finance, various areas of engineering and two and three dimensional computer visualization of data. The main application of the objects of this study is in approximation and computer representation of behavior of unknown objects. The new problem that is being investigated is the imposition of "shape constraints" on the unknown phenomena and requiring that the computed approximation conforms to these constraints. For instance, in econometrics estimating the demand curve in some market from a scatter of sample data may yield an approximate demand curve that does not uniformly move down as price goes up. The properties of "positive polynomials" and "moment cones" are investigated to assist in computer shape constrained approximation of unknown objects that arise in fields such as economics, engineering and data visualization.
在这个项目中,一些形状约束的逼近未知函数的问题正在研究中。作为一个中心工具,一类被称为正多项式的函数的性质正在被研究和利用。具有形状约束的未知函数的近似问题有许多潜在的应用,其中一些正在本项目的范围内开发和制定。正在研究的问题的一个例子包括:统计中的形状约束回归及其在经济和金融中的应用(例如,估计必然是递减函数的需求曲线,或者是凸的和递减的效用曲线);基于事件的矩或频率样本的一些知识来估计事件的概率或几率;以空间曲线和具有形状约束(例如曲率方向或凸度)的曲面的形式对数据进行可视化。这项研究涉及到一个重要的和相对较新的领域称为半定规划,数学优化理论的一个领域。虽然寻找最佳正多项式的问题可以转换为半定规划问题,但该过程可能不是最有效的方法。在这个项目中,定制的技术正在开发,直接处理正多项式导致更有效的方法比直接使用半定规划方法。在这个项目中,两个数学对象正在研究。一种称为“正多项式”,另一种称为“矩锥”。这些对象在包括统计学、经济学、金融学、工程学的各个领域以及数据的二维和三维计算机可视化的若干领域中具有应用。本研究的主要应用对象是在近似和计算机表示的未知对象的行为。正在研究的新问题是对未知现象施加“形状约束”,并要求计算的近似符合这些约束。例如,在计量经济学中,从分散的样本数据中估计某个市场的需求曲线可能会产生一个近似的需求曲线,该曲线不会随着价格的上涨而均匀地向下移动。研究了“正多项式”和“矩锥”的性质,以帮助在计算机形状约束近似的未知对象,出现在经济,工程和数据可视化等领域。

项目成果

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