Categories, Hopf Algebras, and Algebraic Combinatorics
范畴、Hopf 代数和代数组合
基本信息
- 批准号:1001935
- 负责人:
- 金额:$ 17.84万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Standard Grant
- 财政年份:2010
- 资助国家:美国
- 起止时间:2010-08-15 至 2014-07-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
This project involves research in category theory and the theory of Hopf algebras, as well as algebraic combinatorics. The research is largely motivated by concrete questions of a combinatorial nature, but it also addresses questions of interest in category theory and general algebra, which in turn should find applications elsewhere. The PI has recently completed an 800 page monograph (coauthored with Swapneel Mahajan from IIT Mumbai), on which a solid conceptual framework for the study of a large class of Hopf algebras that arise in combinatorics was laid out. This project took about 7 years of dedicated work. This long journey has opened the door to a wealth of new questions and exciting avenues to explore. A very important finding of this work is the existence of a general construction of Hopf algebras which includes at the same time the combinatorial Hopf algebras alluded to above, and the deformations of the enveloping algebras of simple Lie algebras (quantum groups). This connection has not been explored in depth yet, but it certainly deserves to be. Thus, an important goal of this project will be to bridge between the world of combinatorial Hopf algebras and that of abstract Hopf algebras. There have been recent important advances in the latter (by Andruskiewitsch, Schneider, and others) which should be mutually beneficial to this endeavor. Central to this work is Joyal's notion of species. It provides the right framework for the application of categorical ideas to algebraic combinatorics. The theory of Fock functors, whose first stages are developed in the PI's work with Mahajan, links the setting of Hopf monoids in species with that of graded Hopf algebras. Extensions of the theory will be explored. Concrete applications to algebraic combinatorics will be a theme of major focus for this project.The use of algebraic techniques in order to study concrete combinatorial problems, pioneered by Rota, Stanley, and many others, has gained solid ground over the past two decades. This project builds in this direction by exploiting notions and ideas from category theory. Categorical ideas, properly employed, can be very powerful and clarifying. Conversely, the concrete questions studied in this project will serve as motivation and guide for new developments in algebra and category theory. The PI will introduce graduate students to this area of research and make international contacts and collaborations in Europe, Latin America, and India.
该项目涉及范畴理论和Hopf代数理论以及代数组合学的研究。这项研究的动机主要是具体的问题的组合性质,但它也解决了问题的兴趣范畴理论和一般代数,这反过来又应该找到应用其他地方。PI最近完成了一本800页的专着(与来自印度理工学院孟买的Swapneel Mahajan合著),为研究组合学中出现的一大类Hopf代数奠定了坚实的概念框架。这个项目花了大约7年的时间。这一漫长的旅程开启了通往大量新问题和令人兴奋的探索途径的大门。一个非常重要的发现,这项工作是存在的一般建设的霍普夫代数,其中包括在同一时间的组合霍普夫代数上面提到的,和变形的包络代数的简单李代数(量子群)。这种联系尚未得到深入探讨,但它肯定值得深入探讨。因此,这个项目的一个重要目标是在组合Hopf代数和抽象Hopf代数之间架起一座桥梁。最近在后者(由Andruskiewitsch,Schneider和其他人)方面取得了重要进展,这对这一奋进应该是互利的。 这项工作的核心是Joyal的物种概念。它提供了正确的框架应用范畴的想法代数组合。福克函子的理论,其第一阶段是在PI与Mahajan的工作中发展起来的,它将物种中的霍普夫幺半群的设定与分次霍普夫代数的设定联系起来。理论的扩展将被探索。代数组合学的具体应用将是这个项目的主要焦点。使用代数技术来研究具体的组合问题,由罗塔,斯坦利和其他许多人开创,在过去的二十年里已经取得了坚实的基础。这个项目通过利用范畴论的概念和思想在这个方向上建立。分类观念,如果运用得当,可以非常有力和清晰。相反,本项目研究的具体问题将成为代数和范畴论新发展的动力和指南。PI将向研究生介绍这一研究领域,并在欧洲,拉丁美洲和印度进行国际联系和合作。
项目成果
期刊论文数量(0)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
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