Analytic aspects of Cauchy transforms in free probability theory

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Voiculescus freie Wahrscheinlichkeitstheorie ging aus der Theorie der Operatoralgebren hervor und lieferte Antworten zu bis dahin unzugänglichen Problemen über die Struktur von speziellen Von-Neumann-Algebren (nämlich solchen, die mit freien Produkten von Gruppen zusammenhängen). Es kristallisierte sich im Laufe der Zeit jedoch heraus, dass die freie Wahrscheinlichkeitstheorie auch tiefliegende Verbindungen zu anderen Gebieten besitzt; an erster Stelle sind hier Zufallsmatrizen zu nennen, aber auch klassische Gruppen und Quantengruppen, Kombinatorik, klassische Analysis oder die Theorie drahtloser Netzwerke. Für die Untersuchung der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind Cauchy-Transformierte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre analytischen Eigenschaften von grundlegender Bedeutung. In den letzten Jahren rückten allgemeinere Versionen der freien Wahrscheinlichkeitstheorie in den Mittelpunkt des Interesses: die „operatorwertige freie Wahrscheinlichkeitstheorie" (welche zur Beschreibung von allgemeineren Operatoralgebren und Zufallsmatrizen dient) und „second order freeness" (welche zur Beschreibung von Fluktuationen der Eigenwerte von Zufallsmatrizen eingeführt wurde). Wesentliche Informationen über die relevanten Objekte in diesen Theorien sind wieder in angemessenen Versionen von Cauchy-Transformationen enthalten. Allerdings ist unser Verständnis der analytischen Eigenschaften dieser Transformationen zur Zeit noch ziemlich unbefriedigend, und das Ziel des beantragten Projektes liegt darin, diese Situation zu verbessern. Fortschritte im analytischen Verständnis solcher Cauchy-Transformationen wird potentielle Anwendungen auf die Theorie der freien Entropie, Zufallsmatrizen, sowie nichtkommutativer analytischer Abbildungen haben. Insbesondere erwarten wir etliche neue Beispiele von interessanten operatorwertigen Verteilungen.