Efficient Quasi Monte Carlo methods and their application in Quantum Field Theory

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Das Ziel des Projektes ist die Erforschung von quasi-Monte Carlo (QMC) Methoden für Anwendungen in der Euklidischen Quantenfeldtheorie und der Statistischen Mechanik. Wir planen die Erforschung und Konstruktion effektiver Techniken zur Reduktion der effektiven Dimension auf der Basis von Ableitungsinformation über den Integranden, die mit neuen Verfahren des Algorithmischen Differenzierens gewonnen werden können. Diese Techniken werden für Monte Carlo Simulationen von Modellen der Euklidischen Gitterfeldtheorie und für die Berechnung von sogenannten nichtverbundenen Diagrammen benutzt. Eine effiziente Reduktion der effektiven Dimension macht QMC Methoden anwendbar auf Integrationsprobleme der Euklidischen Quantenfeldtheorie und der Statistischen Mechanik. Da die betrachteten extrem hoch dimensionalen Probleme typischerweise glatt sind, zielen wir auf Konvergenzordnungen O(1/Nr) mit r ≥=1 und N die Zahl der Auswertungen ab. Demgegenüber können klassische Monte Carlo (MC) Methoden nur die Konvergenzordnung O(1/N1/2) erreichen. Die Anwendung von neuen Techniken des Automatischen oder Algorithmischen Differenzierens (AD) verfolgt zwei unterschiedliche Zielrichtungen: Erstens erforschen wir Methoden zur Dimensionsreduktion auf der Basis von Ableitungen des Integranden. Diese repräsentieren Systeme der Gitterfeldtheorie mit kompakten Integrationsvariablen, wie sie in Eichtheorien und bei der stochastischen Evaluierung des diskretisierten Quarkpropagators auftreten. Zu diesem Zwecke quantifizieren wir die effektive Dimension mit Hilfe von ableitungsbasierten Sobol-Sensitivitäten. Deren Berechnung kann mit AD Techniken erheblich beschleunigt werden, wie vor kurzem in einem Artikel der Antragsteller gezeigt wurde. Zweitens beabsichtigen wir die Nutzung von Ableitungsinformation für die effektive Konstruktion von an den Integranden angepassten QMC Regeln. In einem zweiten Artikel der Antragsteller wurde kürzlich gezeigt, dass neue AD Techniken zur Konstruktion effizienter Gitterregeln für gewichtete Räume benutzt werden können. Dies ist eine der wesentlichen QMC Vorgehensweisen, die wir auf das Euklidische Quantenfeldproblem anwenden werden. Außerdem werden wir die Effizienz von Sobol Folgen mit zusätzlichen Eigenschaften untersuchen, die auch bei einer kleinen Anzahl von Auswertungspunkten die Garantie zusätzlicher Uniformität selbst bei hochdimensionalen Problemen liefern. Wir planen dann die Konstruktion und Anwendung von QMC Methoden und Dimensionsreduktionsverfahren auf andere Problemklassen. Insbesondere beabsichtigen wir Probleme zu betrachten in denen die relevanten Freiheitsgrade zu einer kompakten Gruppe gehören. Eine weitere Herausforderung sind sogenannte unverbundene Beiträge, die mit konventionellen MC Methoden kaum in den Griff zu bekommen sind. Gerade hier würde die erfolgreiche Anwendung von QMC Methoden einen Durchbruch für die Quantenchromodynamik bedeuten.