Kritische Punkte diskreter logarithmischer und newtonscher Potentiale

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Vorgegeben sei eine unendliche diskrete Konfiguration von elektrostatischen Punktlandungen in der Ebene oder im Raum. Unter welchen Bedingungen besitzt das resultierende Kraftfeld F Gleichgewichtspunkte, in denen ein Teilchen verharrt? Das resultierende Kraftfeld ist stets ein Gradientenfeld F =(u. Sind speziell alle Ladungen positiv, so ist u eine superharmonische Funktion, die Gleichgewichtspunkte entsprechen den kritischen Punkten des Potenzials. Kriterien für die Existenz von kritischen Punkten im Raum gibt es nur vereinzelt. Aus dem analytischen Verhalten des Potenzials sollen hinreichende Bedingungen für die Existenz von kritischen Punkten gewonnen werden. Hierzu gehört die Untersuchung spezieller symmetrischer Verteilungen, Gewichtungen der Ladungen und konkrete Beispiele. Dabei sind die Untersuchungsmethoden im ebenen Fall gegenüber dem räumlichen grundlegend verschieden, was aus stark abweichenden Eigenschaften der Stammfunktion herrührt. So ist u in der Ebene unbeschränkt, während dies in höheren Dimensionen nicht der Fall sein muss. Die Vermutung von Fuchs ist eine eng verbundene funktionentheoretische, also ebene Problemstellung, die eine präzisere Aussage bezüglich der Häufigkeit von Gleichgewichtspunkten bei speziellen Kraftfeldern macht. Sind die Ladungen sämtlich positiv und ganzzahlig, damit aber auch sehr spärlich in der Ebene gestreut, so ist die Häufigkeit in einer funktionentheoretisch exakt zu beschreibenden Weise extremal.