Heterotic-Type IIA弦理論双対性の体系的理解と幾何学への応用

昨年度に引き続き、ヘテロティック理論のコンパクト化と Type IIA 理論のコンパクト化の両方で得られる 4 次元超対称 N = 2 理論に注目した。特に、クーロン枝モジュライ空間内でヘテロティック理論により摂動的に扱える領域におけるシンプレクティックセクションのモノドロミーについて扱った。昨年度に、ヘテロティック理論の世界面理論における自由ボソンの荷電格子が特定の形をしているいくつかの場合について、モノドロミー行列を数値計算した。本年度はその計算結果を整理し、ヘテロティック理論の1ループの計算結果と合わせて、モノドロミー行列の整数条件が4次元理論のプレポテンシャルの展開係数やBPS不変量の母関数である保型形式のフーリエ係数に課される条件について議論した。ここで現れる（ベクトル値）保型形式は二種類あり、ひとつめはヘテロティック理論の世界面理論における自由セクター以外のセクターの楕円種数と関連するものであり、ふたつめはゲージ結合定数の補正の計算に現れる新たな自由度を抽出して定義されるものである。結果として、Peccei-Quinn 対称性とある一つの特殊な双対変換のモノドロミー行列の整数性条件から、Type IIA 理論が幾何学的にコンパクト化されているための必要条件の一種（Wall の定理に現れる、位相不変量に対する条件と解釈可能なもの）が得られることが見出された。また、他の双対性変換に対する整数性条件はほぼ自動的に従うという観察結果を得た。これは非自明な結果であり、背後に物理的・数学的構造が潜んでいることも示唆している。荷電格子がより一般の形の場合に拡張して、同様の現象を観察できる可能性もあると考えられる。

昨年度に引き続き、ヘテロティック理論のコンパクト化と Type IIA 理論のコンパクト化の両方で得られる 4 次元超対称 N = 2 理論に注目した。特に、クーロン枝モジュライ空間内でヘテロティック理論により摂動的に扱える領域におけるシンプレクティックセクションのモノドロミーについて扱った。昨年度に、ヘテロティック理論の世界面理論における自由ボソンの荷電格子が特定の形をしているいくつかの場合について、モノドロミー行列を数値計算した。本年度はその計算結果を整理し、ヘテロティック理論の1ループの計算結果と合わせて、モノドロミー行列の整数条件が4次元理論のプレポテンシャルの展開係数やBPS不変量の母関数である保型形式のフーリエ係数に課される条件について議論した。ここで現れる（ベクトル値）保型形式は二種類あり、ひとつめはヘテロティック理論の世界面理論における自由セクター以外のセクターの楕円種数と関連するものであり、ふたつめはゲージ結合定数の補正の計算に現れる新たな自由度を抽出して定義されるものである。結果として、Peccei-Quinn 対称性とある一つの特殊な双対変換のモノドロミー行列の整数性条件から、Type IIA 理論が幾何学的にコンパクト化されているための必要条件の一種（Wall の定理に現れる、位相不変量に対する条件と解釈可能なもの）が得られることが見出された。また、他の双対性変換に対する整数性条件はほぼ自動的に従うという観察結果を得た。これは非自明な結果であり、背後に物理的・数学的構造が潜んでいることも示唆している。荷電格子がより一般の形の場合に拡張して、同様の現象を観察できる可能性もあると考えられる。