Algebro-geometric study of iterated Frobenius direct images on del Pezzo surfaces in positive characteristic

del Pezzo 表面正特征迭代 Frobenius 直接像的代数几何研究

• 批准号: 21K03157
• 负责人: 原 伸生
• 金额: $ 1万
• 依托单位: Tokyo University of Agriculture and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03157/
• 关键词: 正標数; Frobenius直像; del Pezzo曲面; 反標準束（反標準環）; 代数幾何; 有限F-表現型（FFRT）; del Pezzo 曲面; フロベニウス直像; 反標準束; 有限F表現型（FFRT）

正標数pの代数閉体k上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をLとするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^nのe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^e とおいた．このFrobenius 直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによる整数回のtwistを法として高々有限個であることが最近Malloryによって証明されたが（Xの反標準環のFFRT性)，その証明から具体的にどのような同型類が現れるかについての情報は得られない．本研究の目的の一つは，上記Frobenius直像の直既約直和因子（以下においてFrobenius summandとよぶ）を分類することであり，過去数年間において，標数が p＝2,3 の場合（nは任意）と，奇標数pで n＝0, (p^e－1)/2の場合については分類が完成したが，奇標数で一般のnの場合については未だ未解決である．この一般の場合を考察するために，ベクトル束EがFrobenius直像の直和因子として現れる重複度がベクトル空間の"pairing"Hom(E,(F^e)_*(L^n))×Hom((F^e)_*(L^n),E)→Hom(E,E)＝kの階数と一致することを用いて，これを計算することによりFrobenius summandを決定する方法について考察した．この方法をn＝0の場合（O_X，B，L_i（i=0,1,2,3,4)，G の8種類のベクトル束がFrobenius summandとして既知）に適用したところ，B,L_i,G の重複度をそれぞれb,l,gとして，関係式g+l＝(q-1)(q-2)/2, b+l＝q-1が得られ，これからn＝0の場合の結果の別証明が得られることを観察した．

The antistandard beam of a nonspecific del Pezzo surface X of degree 5 over an algebraic closed body k with positive scalar number p is a nonnegative integer n, e, n antistandard beam L ^n and the e Frobenius direct image (F ^e)_*(L ^n) of degree q^2.ただし，q=p^e とおいた. The Frobenius direct image is directly reduced by the direct sum of the bundle and the decomposition of the straight sum factor. The homotype class of the straight sum factor is obtained by the integer loop twist method. The finite number of the straight sum factor is obtained by the most recent Mallory proof. One of the purposes of this study is to classify Frobenius direct images by their direct reduction and direct sum factors (hereinafter referred to as Frobenius summand). In the past few years, the classification has been completed when the scale number is p = 2, 3 (n is arbitrary), and when the odd scale number is p = 0,(p ^e-1)/2. The classification has not been solved when the odd scale number is general. In general, the "pairing" of Hom (E,(F ^e)_*(L ^n)) × Hom ((F ^e)_*(L ^n), E) → Hom (E, E)= k is the same as that of Frobenius summand. This method is applicable to the case where n = 0 (O_X, B, L_i (i = 0, 1, 2, 3, 4), G) and the 8 kinds of clusters are Frobenius summand and known), and the relation g + l =(q-1)(q-2)/2, b + l = q-1 is obtained.