Algebro-geometric study of iterated Frobenius direct images on del Pezzo surfaces in positive characteristic

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正標数pの代数閉体k上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をLとするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^nのe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^e とおいた．このFrobenius 直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによる整数回のtwistを法として高々有限個であることが最近Malloryによって証明されたが（Xの反標準環のFFRT性)，その証明から具体的にどのような同型類が現れるかについての情報は得られない．本研究の目的の一つは，上記Frobenius直像の直既約直和因子（以下においてFrobenius summandとよぶ）を分類することであり，過去数年間において，標数が p＝2,3 の場合（nは任意）と，奇標数pで n＝0, (p^e－1)/2の場合については分類が完成したが，奇標数で一般のnの場合については未だ未解決である．この一般の場合を考察するために，ベクトル束EがFrobenius直像の直和因子として現れる重複度がベクトル空間の"pairing"Hom(E,(F^e)_*(L^n))×Hom((F^e)_*(L^n),E)→Hom(E,E)＝kの階数と一致することを用いて，これを計算することによりFrobenius summandを決定する方法について考察した．この方法をn＝0の場合（O_X，B，L_i（i=0,1,2,3,4)，G の8種類のベクトル束がFrobenius summandとして既知）に適用したところ，B,L_i,G の重複度をそれぞれb,l,gとして，関係式g+l＝(q-1)(q-2)/2, b+l＝q-1が得られ，これからn＝0の場合の結果の別証明が得られることを観察した．