シンプレクティック特異点解消のジェット束の量子化とその表現論

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複素平面上のN点のヒルベルトスキームは1次元トーラス作用に同変な正則シンプレクティック構造を持ちながら、複素平面の対称積空間の特異点解消を与えるため、錐的シンプレクティック特異点解消と呼ばれる特別な正則シンプレクティック多様体の一例である。この多様体の構造層であるポアソン代数の層にフェルミオニック変数を付け加えてできる構造層の超対称性類似とも言える超ポアソン代数の層のジェット束を考え、その量子化を与えるh-進頂点超代数の層をヒルベルトスキーム上に構成し、その構造を研究した。このようなh-進頂点超代数の層の大域切断からなる代数構造から通常の頂点超代数を構成することができるが、そのようにして得られる頂点超代数がN=4超共形代数と呼ばれる場の量子論に現れる代数構造を含むことや、頂点超代数の随伴多様体として複素平面の対称積空間が現れることを証明した。また、ある局所座標による大域切断の具体的表示によって脇本実現の類似となるような頂点超代数の自由場表示が得られることを示した。Bonetti-Meneghelli-Rastelliにより各複素鏡映群に付随して超共形代数を含む頂点超代数が存在することが知られているが、上述の随伴多様体や自由場表示の結果から、我々がヒルベルトスキームから構成した頂点超代数は彼らの研究で対称群に付随して得られる頂点超代数に本質的に一致していることがわかる。本研究は京都大学数理解析研究所の荒川知幸・ハンブルグ大学のSven Moellerとの共同研究であり、これまでに得られた研究結果は台湾のアカデミアシニカにおける国際研究集会において発表した。また研究結果に関する論文を準備中である。