代数群作用を持つ代数多様体族の研究

正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．これまでの研究で，関数体上の代数群のトーサー（主等質空間）から正規整スキーム上の代数群が作用する対称性の高い幾何学的モデル（代数群作用を持つ代数多様体族）を構成したが，本年度は具体的な対象へ研究を応用した．完備付値体上定義されたトーラス還元を持つアーベル多様体のネロンモデルに対し，Mumfordモデルを手掛かりに双有理幾何学的な意味で極小な相対コンパクト化を構成し，共同研究者の中村郁氏と結果をまとめた．この相対コンパクト化はネロンモデルの加法作用が一意的に拡張可能であるという高い対称性を持っている．対称性の証明にはリジッド幾何を応用する．また，共同研究者の黒田匡迪氏とGAPN（generalized APN）関数を研究した．これまでに非線形性が高い有限体上の関数としてPN（perfect nonlinear）関数やAPN（almost PN）関数が研究され，標数2の場合は暗号理論や符号理論へ応用されてきた．近年，標数2のAPN関数の代数的性質を保つ奇標数への一般化としてGAPN（generalized APN）関数が定義され研究され始めた．その中で標数3の特殊性が観察されている．本年度は標数3の場合に単項GAPN関数の分類を進めた．GAPN関数の分類は代数曲線の幾何学的既約性と関係している．幾何学的既約性は特異点の分布，局所的性質，Galois作用等と関係するため，有理点の存在しない代数多様体の研究や代数多様体の局所構造の研究で培った手法を応用し特異点を分析して多くの場合に分類を進めることができた．

正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．これまでの研究で，関数体上の代数群のトーサー（主等質空間）から正規整スキーム上の代数群が作用する対称性の高い幾何学的モデル（代数群作用を持つ代数多様体族）を構成したが，本年度は具体的な対象へ研究を応用した．完備付値体上定義されたトーラス還元を持つアーベル多様体のネロンモデルに対し，Mumfordモデルを手掛かりに双有理幾何学的な意味で極小な相対コンパクト化を構成し，共同研究者の中村郁氏と結果をまとめた．この相対コンパクト化はネロンモデルの加法作用が一意的に拡張可能であるという高い対称性を持っている．対称性の証明にはリジッド幾何を応用する．また，共同研究者の黒田匡迪氏とGAPN（generalized APN）関数を研究した．これまでに非線形性が高い有限体上の関数としてPN（perfect nonlinear）関数やAPN（almost PN）関数が研究され，標数2の場合は暗号理論や符号理論へ応用されてきた．近年，標数2のAPN関数の代数的性質を保つ奇標数への一般化としてGAPN（generalized APN）関数が定義され研究され始めた．その中で標数3の特殊性が観察されている．本年度は標数3の場合に単項GAPN関数の分類を進めた．GAPN関数の分類は代数曲線の幾何学的既約性と関係している．幾何学的既約性は特異点の分布，局所的性質，Galois作用等と関係するため，有理点の存在しない代数多様体の研究や代数多様体の局所構造の研究で培った手法を応用し特異点を分析して多くの場合に分類を進めることができた．