分離商と純非分離商を用いた代数曲線束の研究

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代数曲線束の分離商と純非分離商に関してそれぞれ以下のような結果が得られ,代数曲面の分類の研究へ応用した.分離商に関しては過去の研究から,一般の商を考える前にエタール商を考えるのが妥当であることがわかっている.与えられた曲線をより単純な構造を持つ代数曲線束のエタール商として記述して研究するために,曲線束の基本群を研究した.底空間が曲線の場合(大域的な場合)と完備離散付値環のスペクトラムの場合(局所的な場合)を同時に扱うために,連結局所ネーター的正規スキームの間の射が誘導するエタール基本群のホモトピー完全系列を研究した.一般の曲線束等の場合には多重ファイバーのような幾何学的被約でない退化ファイバーが現れるため,従来に比べて弱い仮定のもとで考察し,結果として幾何学的被約でない射の場合にも,従来のホモトピー完全系列と類似した完全系列が誘導されることを見出だした.応用として,楕円曲面が単連結になるための必要十分条件を退化ファイバーの性質で与えた.この結果は複素解析的な場合には微分幾何と位相幾何を使って得られていた.ここでは,純代数的証明を与え,正標数の場合にも類似の結果を得た.証明には,一次元の単連結オービフォールドの分類を用いる.この分類は標数が零の場合,フックス群のねじれのない指数有限の部分群の存在に関する古典的な結果から導かれる.正標数の場合には,それと類似した主張を示す.純非分離商に関しては,ある種の単有理曲面の例の構成法を与え,結果としてザリスキーの提出したある種の単有理曲面の非存在性に関する問題を否定的に解決した.この構成には,複素解析楕円曲面の対数変換と類似した多重ファイバーを生成する変換を用いる.得られた曲面が単有理曲面であることを示す際に,局所環上の曲線束の研究結果を用いる.具体的には,底空間の純非分離被覆による多重ファイバーの解消に関する研究成果を用いる.