Representation theory of elliptic quantum toroidal algebras and its application to integrable systems

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本研究の目的はランクが2以上gl_n量子トロイダル代数の楕円化を定義し，可積分系への応用を目指すことである．2021年度には，まずその足掛かりとして，gl_1量子トロイダル代数の楕円化である楕円gl_1量子トロイダル代数を調べ，その結果は共同研究者の今野均氏（東京海洋大学）との論文”Elliptic Quantum Toroidal Algebra U_{q,t,p}(gl_{1,tor}) and Affine Quiver Gauge Theories”にまとめ，Letters in Mathematical Physicsに掲載予定である．今年度は以上の計算をgl_nに拡張することを試みた．まず，一般のリー代数に対する量子トロイダル代数について楕円化を定義し，ホップ亜代数の構造を定めた．そして楕円量子トロイダル代数のZ代数を計算した結果，楕円量子トロイダル代数のZ代数は元の量子トロイダル代数のZ代数に等しく，Z代数は楕円化の影響を受けないことが分かった．さらにsimply-lacedな場合にレベル(1,M)表現を構成し，またgl_nに対する場合にレベル(0,1)表現を構成した．以上の結果は2022年8月29日～9月2日にフランス・リヨンで開催された研究集会「Recent Advances in Quantum Integrable Systems」において「Elliptic Quantum Toroidal Algebras and their representations」というタイトルで講演発表したほか，論文”Elliptic Quantum Toroidal Algebras, Z-algebra Structure and Representations”に共同研究者の今野均氏と共著で執筆し，論文誌に投稿中である．