トロイダル代数及び量子トロイダル代数の表現論の研究

当初の計画では2年目はトロイダル代数の表現の指標および量子トロイダル代数の余代数の構造の研究を行う予定であったが、今年度は主にトロイダル代数と可積分系の関係に関する研究を行った。その理由は昨年度の研究で得られたトロイダル代数の対称性を持つ広田型双線形方程式の階層に興味を持ったことによる。アファイン代数の研究の初期においてソリトン方程式との関係が重要な役割を果たしたことは良く知られており、トロイダル代数の場合にもこのような可積分系との関係が表現論の理解に役立つと考えられる。トロイダル代数の対称性を持つ広田型双線形方程式の階層に関してはBilligによるA_1型の結果があったが、まずこの結果をA,D,Eの全ての場合に拡張した。この拡張の重要な点はE型の広田型双線形方程式の階層が得られたところにある。E型の場合、単純楕円型特異点に付随するWDVV方程式がE型の広田型双線形方程式の階層の無分散極限として得られるであろうと予想しており、この点は今後の重要な課題である。またもう一つの課題は広田型双線形方程式の階層の可積分性の問題である。現時点ではまだ論文に出来る形にはなっていないが、我々の得た広田型双線形方程式の階層はほぼ可積分であるとの計算結果を得た。いくつかクリアすべき問題は残っているが近い内に完全な証明が可能と考えている。トロイダル代数の構造論に関しては、Weyl群が齋藤恭司によるelliptic Weyl群と一致することを示した。この結果はすでに前年度に得られていたものであるが、以前の証明は個々の場合に応じての具体的計算によるものであった。今年度の研究で個々の場合によらない統一的な証明が得られ、より深い理解が得られた。また表現論に関してはトロイダル代数の頂点表現が本質的にアファインリー代数のレベル1の表現のループ化と一致することを証明した。トロイダル代数の表現論において頂点表現は唯一詳しく調べることが出来る例であったが、この結果により頂点表現は本質的に新しい例にはなっていないということが示された。結果自身は当初の期待とは別のものになってしまったが、トロイダル代数の表現論の理解にはある種の役割を果たす結果であると考えている。これらの結果に関してはまだ論文の形にはしていないが、来年度以降発表の予定である。

当初の計画では2年目はトロイダル代数の表現の指標および量子トロイダル代数の余代数の構造の研究を行う予定であったが、今年度は主にトロイダル代数と可積分系の関係に関する研究を行った。その理由は昨年度の研究で得られたトロイダル代数の対称性を持つ広田型双線形方程式の階層に興味を持ったことによる。アファイン代数の研究の初期においてソリトン方程式との関係が重要な役割を果たしたことは良く知られており、トロイダル代数の場合にもこのような可積分系との関係が表現論の理解に役立つと考えられる。トロイダル代数の対称性を持つ広田型双線形方程式の階層に関してはBilligによるA_1型の結果があったが、まずこの結果をA,D,Eの全ての場合に拡張した。この拡張の重要な点はE型の広田型双線形方程式の階層が得られたところにある。E型の場合、単純楕円型特異点に付随するWDVV方程式がE型の広田型双線形方程式の階層の無分散極限として得られるであろうと予想しており、この点は今後の重要な課題である。またもう一つの課題は広田型双線形方程式の階層の可積分性の問題である。現時点ではまだ論文に出来る形にはなっていないが、我々の得た広田型双線形方程式の階層はほぼ可積分であるとの計算結果を得た。いくつかクリアすべき問題は残っているが近い内に完全な証明が可能と考えている。トロイダル代数の構造論に関しては、Weyl群が齋藤恭司によるelliptic Weyl群と一致することを示した。この結果はすでに前年度に得られていたものであるが、以前の証明は個々の場合に応じての具体的計算によるものであった。今年度の研究で個々の場合によらない統一的な証明が得られ、より深い理解が得られた。また表現論に関してはトロイダル代数の頂点表現が本質的にアファインリー代数のレベル1の表現のループ化と一致することを証明した。トロイダル代数の表現論において頂点表現は唯一詳しく調べることが出来る例であったが、この結果により頂点表現は本質的に新しい例にはなっていないということが示された。結果自身は当初の期待とは別のものになってしまったが、トロイダル代数の表現論の理解にはある種の役割を果たす結果であると考えている。これらの結果に関してはまだ論文の形にはしていないが、来年度以降発表の予定である。