Complex analytic invariants on the moduli space of Riemann surfaces using super Riemann surfaces

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リーマン面とは複素1次元多様体である．モジュライ空間とは，リーマン面全体を双正則同型により同一視した空間である．複素解析学，微分位相幾何学，代数幾何学，物理学など様々な分野において，重要な研究対象とされてきた．本研究の目的は，モジュライ空間の局所的な構造を定量的に理解することにある．モジュライ空間に対して自然に定まるヴェイユ・ピーターソン体積が満たす漸化式をミルザハニが発見し，その拡張として位相的漸化式が定まる．超リーマン面は超対称性をもったリーマン面の拡張であり，モジュライ空間上の積分である散乱振幅について，ある種の有限性を持つことが知られている．物理学者を中心に研究されてきたが，近年数学側からの研究も活発に行われている．離散リーマン面とは閉曲面上の埋め込まれたグラフに離散複素構造を導入したものであり，分割を細かくしていくと通常の複素構造に近づく．本研究では，複素構造に依存して定まる周期，調和体積，調和的マグナス展開を，閉・離散・超リーマン面に対して求める．位相的漸化式を通じて，新たな複素解析不変量の導出を試みる．本年度は，離散リーマン面上の離散指数関数の一般化に関する共同研究をオンラインで定期的に行った．また，組みひも群や曲面の3角形分割と関連する群に関する共同研究をオンラインで定期的に行った．以上の研究について，招待講演を含む研究集会において，口頭発表を行った．周期行列などのリーマン面のモジュライ空間上の複素解析的不変量に関する論文を精読した．研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」をオンラインにより共同開催した．双曲幾何と数理物理に関する論文を精読する研究集会として，「ランダム曲面の幾何学入門」「タイヒミュラー空間の力学系入門」を共同開催した．