Complex quartic differentials on surfaces

(1) (E,h)を階数4nの向きづけられたニュートラルなベクトル束とする. ∇をhと適合するEの接続とする. Eのパラ複素構造JでJ^*h= -hを満たしかつ∇JがJに関連するべき零構造Nとある1形式αのテンソル積で局所的に表されるようなものの特徴づけを与えた. (M,h)を4n次元ニュートラル多様体とし, ∇をhのLevi-Civita接続とする. JはMの概パラ複素構造で, J^*h= -hを満たしかつ∇Jが局所的に上のようなα≠0とNのテンソル積で表されるとする. このときM, hおよび∇Jが定めるM上の光的2n次元分布Dの組(M,h,D)はWalker多様体であり, また(M,h,J)は等方的パラKahler多様体であることがわかった. 特にM=E^{4n}_{2n}の場合に上のような概パラ複素構造の例を与えた. 以上の結果は昨年度得られたn=1の場合のものの一般化である.(2) KusnerによるWillmore射影平面を与えるE^3内の極小曲面を変形することで, E^4内の極小曲面で複素曲線と合同でなくかつ超平面に含まれないものを構成した. またE^4_2内の空間的または時間的曲面で零平均曲率ベクトルを持つものについて, Gauss写像の値域を考慮して, 1次分数変換を用いて具体例を与えた.(3) (梅原雅顕氏 (東工大)との共同研究) E^3内の曲面に対するRibaucour's reductionの類似をE^3_1内の空間的または時間的曲面に対し考えることにより, 空間的曲面に対し曲率線どうしが対応するE^3内の曲面を構成でき, 逆の構成もできた. また時間的曲面の孤立臍点の指数は一意に決まらず, 特に任意の時間的曲面の孤立臍点に対し指数が0の曲率線流の存在がわかった. また孤立臍点の指数が±1である曲率線流を持つ可算個の時間的曲面を構成した.

(1) (E,h)を階数4nの向きづけられたニュートラルなベクトル束とする. ∇をhと適合するEの接続とする. Eのパラ複素構造JでJ^*h= -hを満たしかつ∇JがJに関連するべき零構造Nとある1形式αのテンソル積で局所的に表されるようなものの特徴づけを与えた. (M,h)を4n次元ニュートラル多様体とし, ∇をhのLevi-Civita接続とする. JはMの概パラ複素構造で, J^*h= -hを満たしかつ∇Jが局所的に上のようなα≠0とNのテンソル積で表されるとする. このときM, hおよび∇Jが定めるM上の光的2n次元分布Dの組(M,h,D)はWalker多様体であり, また(M,h,J)は等方的パラKahler多様体であることがわかった. 特にM=E^{4n}_{2n}の場合に上のような概パラ複素構造の例を与えた. 以上の結果は昨年度得られたn=1の場合のものの一般化である.(2) KusnerによるWillmore射影平面を与えるE^3内の極小曲面を変形することで, E^4内の極小曲面で複素曲線と合同でなくかつ超平面に含まれないものを構成した. またE^4_2内の空間的または時間的曲面で零平均曲率ベクトルを持つものについて, Gauss写像の値域を考慮して, 1次分数変換を用いて具体例を与えた.(3) (梅原雅顕氏 (東工大)との共同研究) E^3内の曲面に対するRibaucour's reductionの類似をE^3_1内の空間的または時間的曲面に対し考えることにより, 空間的曲面に対し曲率線どうしが対応するE^3内の曲面を構成でき, 逆の構成もできた. また時間的曲面の孤立臍点の指数は一意に決まらず, 特に任意の時間的曲面の孤立臍点に対し指数が0の曲率線流の存在がわかった. また孤立臍点の指数が±1である曲率線流を持つ可算個の時間的曲面を構成した.