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曲面上の主分布および主曲率関数の振る舞い(外在的な性質と内在的な性質の関係)

曲面上主分布和主曲率函数的行为（外在属性和内在属性之间的关系）

基本信息

批准号：
15740041
负责人：
安藤直也
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

まず今年度の研究実績を大まかに述べる:臍点を持たない曲面でその上の主分布の一つの積分曲線が全て測地線であるようなものを調べ,特にこのような曲面の曲率線を内在的におよび外在的に特徴づけた.まず曲率線の内在的な特徴づけについて説明する.臍点を持たない曲面は第一基本形式と二つの主分布(各点で主方向を与える1次元分布)からなる準曲面構造を持つ.以下のように曲面の準曲面構造を第一基本形式の局所的な表現の仕方によって特徴づけた.(u,υ)のを主分布と相性が良い局所座標とする.主分布の一つの積分曲線が全て測地線であるので,第一基本形式は局所的に、A^2du^2+dυ^2と表される(逆に第一基本形式がこのように表される曲面の主分布の一つの積分曲線は全て測地線である).Gauss曲率Kが恒等的に零であるならば,Aは局所的にA=α(u)υ+1と表わされる.Kは零にはならないと仮定する.このときAはA(u,υ)=1+A_1(u)A_2(u,υ)と表される,但しA_2は(A_2)_υ=sin(α_1(u)+α_2(υ))を満たしまたA_1,α_1,α_2は1変数関数でA_1>0およびα_1(u)+α_2(υ)∈(-π/2,π/2)を満たす.α_1が定数であることと曲面の各点の近傍が標準的な主方向平行曲面であることは同値である.また曲面の曲率線の空間曲線としての曲率および捩率を特徴づけた.Gauss曲率は零にならないと仮定する.測地線である曲率線の各々はある平面に含まれ,曲面の各点の近傍をうまく選ぶと測地線である曲率線は互いに合同になる.またもう一つの曲率線の族が平面曲線からなることと曲面の各点の近傍が標準的な主方向平行曲面であることは同値である.一般にこれら曲率線の曲率kおよび捩率_Tは上述のA, A_1,α_1を用いてそれぞれk=A_1/A, T=α'_1/Aと表される.以上のことに注意すると,今考察している曲面は二つある曲率線の族のそれぞれから互いに交わる曲線を一つずつとるとこれらによって局所的に決定されることがわかる.標準的な主方向平行曲面に対してはこのような曲線の対を生成対(generating pair)と呼んだ.Gauss曲率が恒等的に零であるときも,類似の結果が得られる.

This year's research results are summarized as follows: umbilicus, curved surface, integral curve, integral The intrinsic characteristics of curvature lines are explained in detail. Umbilicus points hold the first basic form of curved surface and the second principal distribution (principal direction of each point and the first dimensional distribution). The following is a description of the first basic form of the quasi-surface structure of a curved surface. (u,$>) is the principal distribution and the phase property. The integral curve of the principal distribution is a complete geodesic curve, and the first fundamental form is a complete geodesic curve of the principal distribution. The Gauss curvature K is zero, and A is zero, and A is a complete geodesic curve of the principal distribution. A(u, u)=1+A_1(u)A_2(u, u)∈(-π/2,π/2), but A_2 (A_2)_u =sin(α_1 (u)+α_2 (u)).α_1 The curvature of the curved surface is characterized by the curvature and transition rate of the curved surface. Geodetic lines are curved lines, and the surfaces are curved lines. A family of curvature lines is a plane curve. A point of a surface is near the standard. A parallel surface is parallel to the main direction. In general, the curvature k of the curvature line is equal to the transition rate T. The equation k= A1/A, T=α'1/A is opposite to the equation A, A1,α 1. The above points of attention, now consider the curved surface two points of curvature of the family of lines and other points of intersection of the curve one point of intersection and other points of the decision. The standard parallel surfaces in the principal direction are opposite to each other. The curve is opposite to each other. The Gauss curvature is identical to zero. Similar results are obtained.